SKKN Góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp - xác suất

hình lăng trụ khi ta chọn 4 đỉnh đồng phẳng và 1 đỉnh không đồng phẳng với 4 đỉnh đã chọn.
Trường hợp 1: 4 đỉnh thuộc {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹} và 1 đỉnh chọn từ
{𝐴′, 𝐵′, 𝐶′, 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′} và ngược lại 1 đỉnh thuộc {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹} và 4 đỉnh chọn từ
{𝐴′, 𝐵′, 𝐶′, 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′}.
6
Trường hợp này có 2. 𝐶4. 6 = 180 hình chóp.
Trường hợp 2: 4 đỉnh được chọn từ một cạnh thuộc {𝐴𝐵, 𝐶𝐹, 𝐷𝐸} và một cạnh thuộc {𝐴′𝐵′, 𝐶′𝐹′, 𝐷′𝐸′} hoặc một cạnh thuộc {𝐵𝐶, 𝐷𝐴, 𝐹𝐸} và một cạnh thuộc
{𝐵′𝐶′, 𝐷′𝐴′, 𝐹′𝐸′}	hoặc một cạnh thuộc {𝐶𝐷, 𝐵𝐸, 𝐷𝐹} và một cạnh thuộc
{𝐶′𝐷′, 𝐵′𝐸′, 𝐷′𝐹′} và 1 đỉnh trong 8 đỉnh còn lại của lăng trụ.
Trường hợp này có 3.9.8 = 216 hình chóp.
Trường hợp 3: 4 đỉnh được chọn từ 1 cạnh thuộc {𝐴𝐶, 𝐹𝐷} và một cạnh thuộc
{𝐴′𝐶′, 𝐹′𝐷′} hoặc 1 cạnh thuộc {𝐵𝐷, 𝐴𝐸} và 1 cạnh thuộc {𝐵′𝐷′, 𝐴′𝐸′} hoặc 1 cạnh thuộc {𝐶𝐸, 𝐵𝐹} 1 cạnh thuộc {𝐶′𝐸′, 𝐵′𝐹′} và 1 đỉnh trong 8 đỉnh còn lại của lăng trụ.
Trường hợp này có tất cả 3.4.8 = 96 hình chóp.
Vậy số hình chóp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 180 + 216 + 96 = 492
hình chóp.
Xây dựng bài toán mới bằng thao tác tư duy lập bài toán đảo.
Ví dụ 3.2.1. Cho 2 đường thẳng 𝑑1, 𝑑2 song song với nhau. Trên đường thẳng
𝑑1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng 𝑑2 cho 8 điểm phân biệt. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ 18 điểm đã cho.
Trong ví dụ trên, giả thiết cho số điểm và từ đó ta tìm ra được số tam giác. Vậy có thể lật ngược vấn đề, đặt ra câu hỏi là nếu biết số tam giác tạo thành, liệu có thể suy ra được số đỉnh trên mỗi đường thẳng song song hay không. Nhìn vào ví dụ 3.2.1 ta thấy nếu trên cả hai đường thẳng đều chưa biết số điểm thì bài toán có hai ẩn với một phương trình nên trong trường hợp này không giải quyết được. Chính vì vậy ta có thể cho biết số điểm trên một đường thẳng, tổng số tam giác tạo thành và từ đó suy ra số điểm trên đường thẳng còn lại.
Bài toán 3.2.1.1 Cho hai đường thẳng 𝑑1 và 𝑑2 song song với nhau. Trên
𝑑1 có 10 điểm phân biệt, trên 𝑑2 có 𝑛 điểm phân biệt (𝑛 ≥ 2). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm 𝑛 ?
Lời giải:
Tam giác cần lập thuộc hai loại:
Loại 1: Tam giác có một đỉnh thuộc 𝑑1 và hai đỉnh thuộc 𝑑2 .
Loại này có 𝐶1 . 𝐶2 tam giác.
10	𝑛
Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc 𝑑2 và hai đỉnh thuộc 𝑑1 .
Loại này có 𝐶2 . 𝐶1 tam giác.
10	𝑛
Theo bài ra ta có:
𝐶1 . 𝐶2 + 𝐶2 . 𝐶1 = 2800
10	𝑛	10	𝑛
- 10.
- 10.
𝑛(𝑛 − 1)
2	+ 45𝑛 = 2800
𝑛(𝑛 − 1)
2	+ 45𝑛 = 2800
- 𝑛2 + 8𝑛 − 560 ⇔	𝑛 = 20.
Vậy, 𝑛 = 20.
Ví dụ 3.2.2. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Xét bộ gồm 5 đường thẳng song song với
𝐴𝐵, 7 đường thẳng song song với 𝐵𝐶 và 8 đường thẳng song song với 𝐴𝐶 trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Hỏi các đường thẳng trên tạo được:
Bao nhiêu tam giác?
Bao nhiêu hình thang (không kể hình bình hành)?
Bao nhiêu hình bình hành ?
Giả thiết bài toán trên cho số lượng các đường song song với mỗi cạnh, ta tính ra được số tam giác, số hình thang hay hình bình hành. Nếu lật ngược vấn đề, cho biết số tam giác, số hình thang hay số hình bình hành tạo thành ta có tính được số đường song song ban đầu hay không?
Bài toán 3.2.2.1. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Xét bộ gồm 5 đường thẳng song song với 𝐴𝐵, 7 đường thẳng song song với 𝐵𝐶 và 𝑛 đường thẳng song song với 𝐴𝐶 trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng có 4930 hình thang được lập từ 𝑛 + 12 đường thẳng nói trên. Tìm 𝑛 ?
Lời giải:
Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại.
- Số hình thang là: 𝐶2. 𝐶1. 𝐶1 + 𝐶1. 𝐶2. 𝐶1 + 𝐶1. 𝐶1. 𝐶2 = 175𝑛 + 35𝐶2.
5	7	𝑛
5	7	𝑛
5	7	𝑛	𝑛
Mỗi hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng song song thuộc nhóm này và hai đường thẳng nữa thuộc nhóm khác.
- Số hình bình hành là: 𝐶2. 𝐶2 + 𝐶2. 𝐶2 + 𝐶2. 𝐶2 = 210 + 31𝐶2.
Theo bài ra ta có:
5	7	7	𝑛
5	𝑛	𝑛
175𝑛 + 35𝐶2 + 210 + 31𝐶2 = 4930
𝑛	𝑛
- 33𝑛2 + 142𝑛 − 4720 = 0
⇒ 𝑛 = 10.
Vậy, 𝑛 = 10.
Trong bài toán trên ta lại tiếp tục bớt đi một giả thiết về số đường thẳng song song với đường thẳng 𝐵𝐶 và cho biết số hình thang hoặc hình bình hành tạo thành. Khi đó, có thể tính được số đường song song với 𝐴𝐵 hoặc 𝐴𝐶 hay không hay chỉ tìm được mối liên hệ giữa các số lượng đó. Ta xét bài toán sau.
Bài toán 3.2.2.2. Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶. Xét bộ gồm 5 đường thẳng song song với 𝐴𝐵, 𝑚 đường thẳng song song với 𝐵𝐶 và 𝑛 đường thẳng song song với 𝐴𝐶 trong đó không có 3 đường thẳng nào đồng quy (𝑚, 𝑛 ∈ ℕ; 𝑚 ≥ 2, 𝑛 ≥ 2). Biết rằng có 225 hình bình hành được lập từ 𝑚 + 𝑛 + 5 đường thẳng nói trên. Tìm tất cả các bộ số (𝑚, 𝑛) thỏa mãn đề bài ?
Lời giải:
Mỗi hình bình hành được tạo thành bởi hai đường thẳng song song thuộc nhóm này và hai đường thẳng nữa thuộc nhóm khác.
- Số hình bình hành là: 𝐶2. 𝐶2 + 𝐶2. 𝐶2 + 𝐶2 . 𝐶2.
5	𝑚
5	𝑛
𝑚	𝑛
- Theo bài ra ta có	𝐶2. 𝐶2 + 𝐶2. 𝐶2 + 𝐶2 . 𝐶2 = 225
5	𝑚
5	𝑛
𝑚	𝑛
- 10𝐶2 + 10𝐶2 + 𝐶2 . 𝐶2 − 100 = 325
𝑚	𝑛	𝑚	𝑛
- (𝐶2 + 10)(𝐶2 + 10) = 325
𝑚	𝑛
- Vì 𝑚 ≥ 2, 𝑛 ≥ 2 nên 𝐶2 + 10 ≥ 11, 𝐶2 + 10 ≥ 11. Do đó, trong trường
𝑚	𝑛
hợp này 325 chỉ có một cách phân tích 325 = 13.25.
𝐶2 + 10 = 13	𝐶2 + 10 = 25
Từ đó suy ra: {
𝑚
𝑛
𝐶2 + 10 = 25
hoặc {
𝑚
𝑛
𝐶2 + 10 = 13
⇒ {𝑚 = 3
𝑛 = 6
hoặc
𝑚 = 6
{ 𝑛 = 3
Vậy có hai cặp số thỏa mãn là (𝑚; 𝑛) = (3; 6) hoặc (𝑚; 𝑛) = (6; 3)
Nhìn lại bài toán 3.2.2.1, 3.2.2.2 ta thấy nếu chỉ có một ẩn thì ta dễ dàng tìm ra số bộ đường thẳng còn thiếu đó. Nhưng nếu là hai ẩn thì việc tìm ra hai bộ đường thẳng đó sẽ khó khăn hơn, và nếu số hình bình hành tạo ra càng nhiều thì sẽ có nhiều trường hợp xảy ra đối với cặp số (𝑚; 𝑛). Đó là điều mà ta cần lưu ý khi xây dựng các bài toán để phù hợp với các đối tượng học sinh.
Ví dụ 3.2.3. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Tìm số cạnh, số đường chéo của đa giác đó.
Khi cho một đa giác đều, có rất nhiều câu hỏi có thể đặt ra trong bài toán này. Đó là số cạnh, số đường chéo, số tam giác (cân, đều, vuông, nhọn, tù), số hình chữ nhật, hình vuông có thể lập được. Ngược lại, nếu biết số lượng các đối tượng đó hoặc mối liên hệ giữa các số lượng đó ta có thể suy ra số đỉnh đa giác.
Bài toán 3.2.3.1. Cho một đa giác đều 𝑛 đỉnh 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 3). Tìm 𝑛 biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.
Lời giải:
𝑛
Số đường thẳng tạo thành từ 𝑛 đỉnh của đa giác là: 𝐶2
𝑛
Trong các đường thẳng đó có 𝑛 đường thẳng là cạnh của đa giác, suy ra số đường chéo là: 𝐶2 − 𝑛.
Theo đề ra ta có:
𝑛
𝐶2 − 𝑛 = 27
𝑛!
- 2! (𝑛 − 2)! − 𝑛 = 27
𝑛(𝑛 − 1)
-	− 𝑛 = 27 2
- 𝑛2 − 3𝑛 − 54 = 0
- [𝑛 = 9 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
𝑛 = −6 (𝑙𝑜ạ𝑖)
Vậy 𝑛 = 9.
Bài toán 3.2.3.2. Cho đa giác lồi có 𝑛 cạnh. Xác định 𝑛 để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
Lời giải:
𝑛
Số đường thẳng đi qua hai đỉnh bất kì của đa giác là: 𝐶2 .
Trong các đường thẳng đó có 𝑛 đường thẳng chứa cạnh của đa giác.
𝑛
Suy ra số đường chéo của đa giác là: 𝐶2 − 𝑛.
Theo đề ra ta có:

𝑛
𝐶2 − 𝑛 = 2𝑛
𝑛!
- 2! (𝑛 − 2)! − 𝑛 = 2𝑛
𝑛(𝑛 − 1)
⇔
Vậy đa giác có 7 cạnh.
2	− 3 = 0
- 𝑛 = 7
Bài toán 3.2.3.3. Cho đa giác lồi (𝐻) không có ba đường chéo nào đồng quy. Gọi 𝑚 là số giao điểm của hai đường chéo nằm bên trong (𝐻) và 𝑝 là số vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối lấy từ các đỉnh của (𝐻). Hỏi (𝐻) có bao
nhiêu cạnh biết 𝑚 = 5 .
𝑝	4
Lời giải:
Giả sử (𝐻) có 𝑛 cạnh tương ứng có 𝑛 đỉnh.
𝑛
Số tứ giác tạo thành từ 𝑛 đỉnh của đa giác là: 𝐶4.
Mỗi tứ giác tạo thành có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm nằm trong (𝐻).
𝑛
Vậy số giao điểm của hai đường chéo nằm trong (𝐻) bằng số tứ giác tạo thành, do đó 𝑚 = 𝐶4.
Số vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối lấy từ các đỉnh của
𝑛
(𝐻) là: 𝑝 = 𝐴2 .
Theo đề ra ta có:
𝐶
=
5
𝑛
𝑚	5	4
𝐴
4
𝑛
𝑝 = 4 ⇔	2
- 4. 𝐶4 = 5. 𝐴2
𝑛	𝑛
𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ
- {	𝑛!	𝑛!
4. 4! (𝑛 − 4)! = 5. (𝑛 − 2)!
𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ
- {1 =	5
6	(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)
- {	𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ
(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) = 30
- {	𝑛 ≥ 4, 𝑛 ∈ ℕ
𝑛2 − 5𝑛 − 24 = 0
⇒ 𝑛 = 8
Vậy đa giác (𝐻) có 8 cạnh.
Bài toán 3.2.3.4. Cho đa giác đều 𝐴1𝐴2  𝐴2𝑛 (𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2) nội tiếp đường tròn (𝑂). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2𝑛 điểm 𝐴1, 𝐴2,  , 𝐴2𝑛 nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2𝑛 điểm 𝐴1, 𝐴2,  , 𝐴2𝑛. Tìm 𝑛.
Lời giải:
2𝑛
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2𝑛 điểm 𝐴1, 𝐴2,  , 𝐴2𝑛 là: 𝐶3 .
𝑛
Có 𝑛 đường chéo qua tâm của đa giác đều. Cứ lấy hai đường chéo qua tâm thì các đỉnh của chúng lập được một hình chữ nhật. Do đó, số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2𝑛 điểm 𝐴1, 𝐴2,  , 𝐴2𝑛 là: 𝐶2.
Theo đề ra ta có:
𝐶3 = 20. 𝐶2 ⇔	(2𝑛)!

𝑛!
= 20.
2𝑛
𝑛	3! (2𝑛 − 3)!
2! (𝑛 − 2)!
2𝑛(2𝑛 − 1)(2𝑛 − 2)
-	6	= 20.
𝑛(𝑛 − 1)
2
Vậy, 𝑛 = 8.
- 2𝑛 − 1 = 15 ⇔ 𝑛 = 8.
Bài toán 3.2.3.5. Cho đa giác đều 2𝑛 cạnh. Biết số hình thang cân có các đỉnh là đỉnh đa giác là 14100. Tìm 𝑛 .
Lời giải:
𝑛
Số hình chữ nhật có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều là: 𝐶2
Ta tìm số hình thang cân có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều.
Trường hợp 1: Hình thang cân có trục đối xứng đi qua đỉnh của đa giác đều.
𝑛−1
Có 𝑛. 𝐶2	hình thang.
𝑛
Trường hợp 2: Hình thang cân có trục đối xứng không đi qua đỉnh của đa giác đều. Có 𝑛. 𝐶2 hình thang.
Vì mỗi hình chữ nhật cũng là hình thang và có hai trục đối xứng nên được đếm hai lần nên số hình thang cân là: 𝑛. 𝐶2	+ 𝑛. 𝐶2 − 𝐶2
𝑛−1	𝑛	𝑛
- Theo bài ra ta có:	𝑛. 𝐶2	+ 𝑛. 𝐶2 − 𝐶2 = 14100
𝑛−1	𝑛	𝑛
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
-	2	−
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)
2	= 14100
- 𝑛(𝑛 − 1)(2𝑛 + 3) = 28200
- 2𝑛3 − 5𝑛2 + 3𝑛 − 28200 = 0
⇒ 𝑛 = 25.
- Vậy 𝑛 = 25.
Bài toán 3.2.3.6. Cho đa giác đều 2𝑛 đỉnh (𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2). Lấy ngẫu nhiên 1
đường chéo của đa giác này thì xác suất để đường chéo được chọn có độ dài lớn nhất
bằng 1. Tìm 𝑛 ?
9
Lời giải:
2𝑛
Số đường chéo của đa giác là: 𝐶2 − 2𝑛.
Đường chéo có độ dài lớn nhất là đường chéo