SKKN Dạy học hình học bằng phương pháp vec tơ để phát triển tư duy cho học sinh Trung học Phổ thông

6)
AN = AC + CN = 1 a + c	(8)
2
Từ (7) và (8):
MC1 = AN
(9)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (6) :
MG = 1 AB + 1 AN Þ MG / /( AB N )	(10)
3	1	3	1
Từ (9) :
MC1 = AN Þ MC1 / /( AB1N )	(11) Từ (10) và (11) : (MGC1)//(AB1N)
Nhận xét: Sau khi HS đã hiểu cách giải bài tập trước GV yêu cầu HS cách giải bài tập
3. Ở bài tập này, GV mời HS khá sẽ giải bài sau đó chữa lại và chốt lại PP giải. Qua bài tập này, GV hướng dẫn HS cách chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang bài toán vec tơ. Việc chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng bằng PP vec tơ đã được hướng dẫn qua bài tập 2 nên ở bài tập này HS sẽ dễ tiếp cận PP giải bằng vec tơ
Dạng 2. Phần quan hệ vuông góc
Bài toán 1. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ
khi AB.CD = 0 .
Bài toán 2. Cho hai a,b không cùng phương có giá song song hoặc thuộc mặt
phẳng (P), AB không thuộc (P) . Khi đó :AB ^ (P ) Û ìï AB.a = 0 .
í
ïî AB.b = 0
2
Bài tập 1: Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a	.
Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Lời giải.
Ta có tam giác SAB đều cạnh a nên ta có:
(SA, SB) = 1200; AC2 + AB2 = BC2. Suy ra AC ^ AB . Ta có:
 SC.AB	(SA + AC ).AB
cos(SA, AB) =	=
SC . AB	SC . AB
- a + 0
= SA.AB + AC.AB =	2	= - 1 .
a2	a2	2

S
a	a
a
B	C
a	a
A
Suy ra (SC, AB) = 1200. Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB là 1800 -1200 = 600.
Nhận xét: Ở bài tập này GV định hướng cho HS có thể giải bằng PP vectơ. Khi tính góc giữa hai vectơ ta thường sử dụng đến tích vô hướng của hai vectơ. Đây là một ứng dụng quan trọng của tích vô hướng của hai vectơ.
Bài tập 2: Chứng minh: tứ diện đều có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Lời giải: Giả sử ABCD là tứ diện đều cạnh a. Chứng minh AB và CD vuông góc.
+ Bước 1: Chọn hệ vectơ cơ sở là: {AB = a, AC = b, AD = c}
+ Bước 2: Biến đổi các vectơ theo các vectơ cơ sở. Ta có:
AB.CD = AB.( AD - AC) = AB.AD - AB.AC = AB.AD.cos( AB; AD) - AB.AC.cos( AB; AC)
= a.a.cos 600 - a.a.cos 600 = 0 Þ AB ^ CD(1)
+ Bước 3: Chuyển từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ hình học tổng hợp. Từ (1) ta suy ra: AB ^ CD .
Bài	tập	3:	Cho	hình	hộp	ABCD.EFGH	có	các	cạnh	bằng	nhau.	Biết
AEH = DEF = AEF = j . Chứng minh rằng: EC ^ ( AFH ).
Lời giải: + Bước 1: Chọn hệ vectơ cơ sở
{EA = a, EF = b, EH = c} Theo giả thiết:
AEH = DEF = AEF = j .
Gọi m là độ dài cạnh của hình hộp.
+ Bước 2: Biến đổi các vectơ theo các vectơ cơ sở:
F
G
P
E
H
B	C
A	D

Ta có: EC = a + b + c Þ EC.AF = (a + b + c)(b - a) = a.b + b.b + c.b - a.a - b.a - c.a
= m2 cosj + m2 + m2 cosj - m2 - m2 cosj - m2 cosj = 0 Þ EC ^ AF
(1)
AH = -a + c Þ EC.AH = (a + b + c)(-a + c) = -a.a - b.a - c.a + a.c + b.c + c.c
= -m2 - m2 cosj - m2 cosj + m2 cosj + m2 cosj + m2 = 0 Þ EC ^ AH
+ Bước 3: Chuyển đổi sang ngôn ngữ vectơ: Từ (1) và (2) ta suy ra:
EC ^ AF; EC ^ AH Þ EC ^ (AFH ).

(2)
Nhận xét: Ở bài tập này GV chọn hệ vectơ cơ sở là ba vectơ không đồng phẳng, chung điểm đầu và thường đã có góc giữa các vectơ cho trước.
Dạng 3. Bài tập tổng hợp
Sử dụng PP vec tơ có thể giải các bài toán về: tính góc, tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các điểm đồng phẳngSau đây chúng tôi xin trích các bài tập, các đề thi học sinh giỏi các trường và các Tỉnh để dạy cho HS rèn luyện bằng PP vectơ để thấy được nếu HS nắm vững cách giải toán hình học bằng PP vectơ thì có thể giải quyết đơn giản rất nhiều bài trong các đề thi.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh
rằng: SA2 + SC2 = SB2 + SD2
Lời giải: Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Ta có: OA=OB=OC=OD
2	2	2
SA = (SO + OA)2 = SO + OA + 2SO.OA = SO2 + OA2 + 2SO.OA (1)
2	2	2
SC = (SO + OC)2 = SO + OC + 2SO.OC = SO2 + OC 2 + 2SO.OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra
S 2 + SC2 = SO2 + OA2 + 2SO.OA + SO2 + OC2 + 2SO.OC =
A
2SO2 + OA2 + OC2 + 2SO.(OA + OC) = 2SO2 + OA2 + OC2
S
B	C
A	O	D

2
OA
= 2SO +
2 + OC2 (Vì OA + OC = 0 ). Tương tự
SB + SD = 2SO + OB + OC +
2
2	2	2	2	2
OD .
SA
Suy ra	2 + SC2 = SB2 +
2
SD .
Từ đó ta có: SA2+SC2=SB2+SD2
Nhận xét: Ở bài tập này, GV định hướng cho HS sử dụng một tính chất về tích vô hướng của vectơ từ đó đưa về việc chứng minh đẳng thức vectơ.
Bài tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Xét hai điểm M
trên
AD' và N trên DB sao cho
AM = DN = k(0 < k < a 2).
Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A’D’CB) khi k thay đổi
Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
Lời giải:
a) Từ giả thiết, ta có:
AM =	k	AD ' =	k	( AA ' + AD); DN =	k	DB =	k	( AB - AD) ;
a 2	a 2	a 2	a 2
MN = AN - AM = AD + DN - AM
D'	C'
A'	B'
D
M	C
N
A	B

k
a 2
k
a 2
MN = æ1-	2k ö A' D ' +
A ' B Þ MN , A ' D ', A ' B
k
a 2
= æ1-	2k ö AD +	AB -	AA ' Þ
ç	2a ÷	ç	a	÷
è	ø	è	ø
đồng phẳng. Từ đó suy ra MN // (A’BCD’)
b) Theo trên:
k
a 2
k
a 2
a 3
æ	2k ö	2	2	2
MN = 1-	AD +	AB -	AA ' Þ MN = 3k - 2 2ka + a Þ MN ³
ç	2a ÷	3
è	ø
Dấu “=” xảy ra khi
k =	. Vậy MN ngắn nhất khi
6a
3
k =	.
6a
3
Nhận xét: Đây là bài tập hình học mức độ vận dụng, nếu HS giải bằng PP hình học tổng hợp thì sẽ khó khăn hơn nếu biết sử dụng vectơ để giải bài tập. Ta thấy qua các đề ra ta sẽ không nghĩ đến sử dụng PP vectơ để giải toán vì không thấy xuất hiện yếu tố vectơ trong đề ra nhưng sau khi định hướng HS sẽ giải được bài toán bằng PP vectơ. Ở bài tập này ta tính được độ dài đoạn thẳng bằng PP vectơ
Bài tập 3: Cho tứ diện SABC. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB
SC	AB
Lời giải: Chọn hệ vectơ cơ sở
{SA = a, SB = b, SC = c}
Đặt CN = AM = m(0 £ m £ 1)
SC	AB
Þ NC = mSC = mc, AM = mAB = m(SB - SA) = m(b - a)

S
N	A
C	M
B

và SC sao cho CN
= AM
. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.
MN = MA + AS + SC + CN = -m(b - a) - a + c - mc = (m -1)a - mb + (1- m)c
a2	a2

2	2	2
= (m -1)a - mb + (1- m)c .	Do
a.b =
, b.c = 0, a.c =	nên MN
2	2
= (3m - 5m + 3)a
= 3a2 (m - 5) + 11 a2 ³ 11 a2 Þ MN ³ a 33 "m Î[0;1].
6	12	12	6
Đẳng thức xẩy ra khi
m = 5 . Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là:
6
a 33
6
Bài tập 4: (Trích đề thi chọn HSG Hà Nội) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng AB và AD (M, N
không trùng A) sao cho AB + 2 AD = 4. Chứng minh rằng khi M, N thay đổi, đường
AM	AN
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải: Đặt
AB = x AM , x ³ 1
và AD = y AN, y ³1.
Khi đó
x + 2 y = 4 Û 1 x + 1 y = 1.
4	2
AI = 1 AB + 1 AD Þ I
Gọi I là điểm thỏa mãn
4	2
cố định.
Mặt khác AB = x AM
và AD = y AN
nên
AI = 1 x AM + 1 y AN
4	2
Mà 1 x + 1 y = 1. Do đó M, N, I thẳng hàng.
4 2
Nhận xét: Để giải bài tập này, GV cần phải định hướng cho HS cách tìm điểm cố định I. GV có thể định hướng đưa về bài toán chứng minh M, N, I thẳng hàng. Khó của bài tập này là chưa xuất hiện điểm I nên GV cần có định hướng cho HS tìm được điểm I này. Cách tìm điểm I là: cần biến đổi để xuất hiện bài toán tổng quát về điều kiện để ba điểm thẳng hàng. GV có thể cho HS tổng quát hóa bài toán.
Phương pháp vec tơ sử dụng được trong việc giải rất nhiều dạng bài tập. Có thể thấy trong đề thi học sinh giỏi rất nhiều câu có thể sử dụng PP vec tơ để giải toán. Như vậy để phát triển tư duy Toán học cho HS THPT ta cần rèn luyện cho HS giải toán bằng PP vectơ.
Bài tập tổng quát: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là hai điểm lần lượt nằm trên các
đoạn thẳng AB và AD (M, N không trùng A) sao cho: m AB + n AD = p . Chứng
AM	AN
minh rằng khi M, N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Đặt
AB = x AM , x ³ 1
và AD = y AN, y ³1.
Khi đó: m
AB + n AD = p Û m x + n y = 1.
Gọi I là điểm thỏa mãn:

AI = m AB + n AD Þ I p	p
AM	AN	p	p
cố định. Mặt khác AB = x AM	và
AD = y AN
nên
AI = m x AM + n y AN p	p
Mà m x + n y = 1. Do đó M, N, I thẳng hàng.
p	p
Bài tập 5: Cho hai đường thẳng Ax, By chéo nhau. Gọi M, N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By; E, I lần lượt là trung điểm của AB và MN. Chứng minh rằng điểm I nằm trong một mặt phẳng cố định.
Lời giải:
Do E là trung điểm AB nên AE + EB = 0.
Gọi a, b lần lượt là các vectơ chỉ phương của Ax và By.
Ta có: EI = 1 (EM + EN ) = 1 (EA + AM + EB + BN )
2	2
A	M	x
I
E	y
N
B

2
= 1 ( AM + BN ).
Giả sử AM = ka và
BN = lb.
Khi đó
EI = k a + 1 b.
2	2
Điều đó chứng tỏ ba vectơ EI, a,b đồng phẳng hay ba đường thẳng EI, Ax, By cùng
song song với một mặt phẳng hay đường thẳng EI nằm trong mặt phẳng (P) qua E và song song với hai đường thẳng Ax, By. Vậy điểm I nằm trong mặt phẳng (P) cố định.
Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Biết rằng AB = 10, CD = 6, MN = 7. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, CD = 2b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và I J = 2c; M là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng:
a) MA2 + MB2 - 2MI 2 + 2a2 .
b) MA2 + MB2 + MC2 - 4MG2 + 2(a2 + b2 + c2 )

với G là trọng tâm của tứ diện. Tìm vị trí
của điểm M để P = MA2 + MB2 + MC 2 + MD2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là điểm
thỏa mãn:
GS + GA + GB + GC + GD = 0.
Một mặt phẳng đi qua AG cắt các cạnh SB,
SC, SD lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:
BM + CN + DP = 1.
SM	SN	SP
Bài tập 4: ( Trích đề thi HSG Tỉnh Nghệ An lớp 11 năm 2016-2017)
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 cố định.
Trên các đoạn AB1,C1B lần lượt lấy các điểm P,Q sao cho AP = 2PB1,
C1Q = 2QB. Chứng minh đường thẳng PQ song song với mặt phẳng (ACC1).
Gọi I là điểm thay đổi trên cạnh BC ( I khác B và C ). AI cắt CD tại J , DI cắt BJ tại M và CM cắt AB tại N . Chứng minh mặt phẳng (A1NI) luôn chứa một đường thẳng cố định.
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là điểm
thuộc cạnh AD và BC sao cho
MA = NC = 1 .
Độ dài đoạn MN thuộc khoảng nào
MB	NB
trong các khoảng sau đây? A. æ 3 ; 2ö.
2
B. æ 0; 1 ö.	C. æ 1 ;1ö.
D. æ1; 3 ö.
ç 2	÷
ç	2 ÷	ç 2	÷
ç	2 ÷
è	ø	è	ø	è	ø	è	ø
Nhận xét: Như vậy sau trong nội dung mục này, đề tài đưa