Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỷ năng sử dụng đạo hàm để giải phương trình

 bài toán:
Bài toán 5.
Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + 2
Nhận xét: Bài này nếu áp dụng các kiến thức và các phương pháp các em đã được học ở lớp 11 giải đều không được. Do đó tôi hướng các em đến việc đưa phương trình về bài toán xét sự tương giao của hai đồ thị ta dùng bảng biến thiên hoặc đồ thị để xác định số giao giao điểm để từ đó tìm số nghiệm tương ứng.
Khi dạy học giáo viên cho học sinh trao đổi và thảo luận theo nhóm để học sinh phát hiện được vấn đề
Bước 0. Nhận dạng phương trình
Dấu hiệu: 2 vế của phương trình cùng đơn điệu tăng
Giải bài toán 5.
Học sinh thu thập các thông tin và làm rõ các thông tin sau đó dùng các kiến thức đã được học tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm của hàm số
f ( x) = 3x + 5x - 6x - 2,"x Î	, lập được bảng biến thiên của hàm số.
Dự kiến học sinh sẻ gặp khó khăn khi tìm nghiệm của
f ¢(x) = 0
vì vây giáo
viên cần định hướng cho học sinh tính và xét dấu
f ¢¢(x) , "x Î . Và áp dụng tính
chất 2 và tính chất 3 kết luận được nghiệm của
f ¢(x) = 0
x = 1
Bước 1. Trước hết ta nhận thấy phương trình này có 2 nghiệm là
Bước 2. Lập BBT
x = 0 và
Xét hàm số
f ( x) = 3x + 5x - 6x - 2,"x Î
f '( x) = 3x ln 3 + 5x ln 5 - 6,"x Î
f ''( x) = 3x (ln3)2 + 5x (ln5)2 > 0,"x Î
nên phương trình
f '( x) = 0 , nếu có nghiệm thì có duy nhất một nghiệm
hơn nữa
ì f '(0) = ln 3 + ln 5 - 6 < 0
î
í f '(1) = 3ln 3 + 5ln 5 - 6 > 0
nên
$a Î(0;1) để
f '(a ) = 0
Bảng biến thiên:
x
-¥

0

a

1

+¥
f ¢(x)

-

-
0
+
0
+


f (x)
+¥

0


CT

0

+¥

Vậy phương trình có 2 nghiệm
x = 0 và
x = 1.
Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh bài toán trên như sau:
Bước 1. Vào TABLE gõ Bước 2. START = - 1.
END = 2
f ( x) = 3x + 5x - 6x - 2 .
Bước 3. Chọn STEP = 0,5 máy tính hiện bảng kết quả
x
f(x)
-1
4,533333
-0,5
2,024563
0
0
0,5
- 1,031881
1
0
1.5
1.376492
2
20
Qua bài toán này giáo viên sẻ hình thành cho học sinh các năng lực toán học đó là năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học và năng lực sử dụng công cụ toán học.
Bài toán 6.
Giải phương trình:
log2 (1+ cos x) = 2cos x
(7)
Nhận	xét:	Đây	một	dạng	của	loại	phương	trình	siêu	việt
(7) Û 1+ cos x = 22cos x . Đặt t = cos x; t Î[-1;1] , ta được phương trình: 1+ t = 4t
Nên tôi hướng các em đến việc dùng đồ thị để xác định số giao giao điểm để từ đó tìm số nghiệm tương ứng.
Trong quá trình trao đổi và thảo luận của học sinh tôi nhận thấy học sinh gặp khó khăn trong việc lập bảng biến thiên của hàm số f (t ) = 4t -1- t, t Î[-1;1]
vì không tính được
f ¢(t ) = 0
có nghiệm như thế nào và dấu của đạo hàm ra sao vì
vây giáo viên định hướng cho học sinh như ở các bài tập 5 ở mục 2.3.1 . qua đó hình thành cho học sinh các năng lực tư duy và lập luận, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 0. Nhận dạng phương trình
Dấu hiêu: 2 vế của phương trình 1+ t = 4t cùng đơn điệu tăng.
Giáo viên tiếp tục hình thành năng lực giao tiếp toán học ( trình bày lời giải)
Giải bài toán 6.
ĐKXĐ:
"x Î
\ {p + k2p}
Bước 1. (7) Û 1+ cos x = 22cos x
Đặt t = cos x; t Î[-1;1], ta được phương trình: 1+ t = 4t
nhận thấy phương trình có 2 nghiệm t = 0 và t =- 1
2
Bước 2. Lập BBT
Xét hàm số
f (t ) = 4t -1- t, t Î[-1;1]
f '(t ) = 4t ln 4 -1, t Î[-1;1]
f ''(t ) = 4t (ln 4)2 > 0, "t Î[-1;1]
nên phương trình
f '(t ) = 0 , nếu có nghiệm thì có duy nhất một nghiệm
ì f '(0) = ln 4 -1 > 0
ï
hơn nữa	1	1
nên
$a Îæ - 1 ;0ö để
f '(a ) = 0
í f '(-	) =
ln 4 -1 < 0
ç	2	÷
ïî	2	2	è	ø
ta có bảng biến thiên như sau:
t

-1
- 1	a
2

0

1
f ¢(t)
-	-	0	+	+

f(t)
1
4


2

0
0


CT


Vậy phương trình có 2 nghiệm t = 0 và
t =- 1
2
Với
t = 0 Þ cos x = 0 Û x = p
2

+ kp , k Î
Với
t = - 1 Þ cos x = - 1 Û x = ± 2p 2	2	3
+ k 2p , k Î 
KL: Phương trình đã cho có nghiệm là: x = p
2
+ kp ,
x = ± 2p
3
+ k 2p , k Î .
x
-¥

-1
0
1
2
+¥
f ¢( x)

+
0
-
0
+	0
-


f (x)
5

4

-¥
2

2
-¥

Bài toán 7. Cho hàm số có bảng biến thiên
Phương trình

f (	) = 3 có bao nhiêu nghiệm.
2x - x2
A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Nhận xét. Trong quá trình giảng dạy tôi cho học sinh thảo luận và trao đổi theo các nhóm và để học sinh tự đưa ra phương án giải quyết . phần lớn học sinh còn lúng túng đối với bài toán hàm số hợp và nếu giải thì thường chọn đáp án sai vì các lý do
chưa biết đặt ẩn phụ t hoặc nếu biết đặt ẩn phụ t thì việc xác định điều kiện của ẩn phụ t khó khăn hoặc sai dẫn đến đọc kết quả trong bảng biến thiên sai
Tư duy trực quan dựa vào bảng biến thiên đang còn yếu.
Vì vậy tôi hình thành cho học sinh các kỹ năng và năng lực toán học như năng lực tư duy và lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học và năng lực sáng tạo.
Bước 1. Đặt ẩn phụ t và sử dụng công cụ đạo hàm để điều kiện cho ẩn phụ t.
Bước 2. trong bảng biến thiên của hàm t(x) trên [0;2]
Î[0;1] có bao nhiêu nghiệm x Î[0;2] .

thì mổi nghiệm t
2x - x2
Bước 3. Quay trở về bảng biến thiên đả cho thì f(t) = 3, t nhiêu nghiệm và kết luận về số nghiệm của phương trình.
Î[0;1]
có bao
Bước 4. nếu thay
bởi 1 – 2sinx, hoặc
3 1- x2 , hoặc
log2 (2 -
x ) ta
có giải quyết được cá bài toán đó không?
Giải bài toán 7
Trước hết, xét hàm số t = t(x) =

2x - x2 , x Î[0;2]
Ta có
t¢( x) = 1- x	, x Î[0;2].t¢( x) = 0 Û x = 1Î[0;2]
2x - x2
Bản biến thiên của t(x)
x

0


1

2
t¢(x)


+

0
-


t(x)
1
0	0

Þ t Î[0;1],"x Î[0;2]. Lúc này phương trình
f (	) = 3

trở thành f(t)
2x - x2
= 3 (2)
"t Î[0;1] . Theo bảng biến thiên của hàm số f(t) trên [0;1] thì đường thẳng
y = 3 cắt đồ thị hàm y = f(t) tại 1 điểm có hoành độ thuộc (0;1) nên phương trình
2x - x2
(2) có đúng 1 nghiệm t = t0 Î(0;1). khi đó phương trình (1) Û	= t0 (2),t0 Î(0;1).
Mặt khác theo bảng biến thiên của hàm số t(x), với mổi t0 Î(0;1).thì đường thẳng
2x - x2
y = t0 cắt đồ thị y = t(x) đúng tại hai điểm phân biệt nên phương trình (2) có
2 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình
f (	) = 3 có đúng hai nghiệm phân biệt.
Nhận xét. Bài toán này nếu không sử dụng công cụ đạo hàm và sự tương giao của hai đồ thị thí học sinh khó có thể giải được. Khi xét điều kiện của ẩn phụ t thì lựa chọn công cụ đạo hàm và lập bảng biến thiên có vẻ thuận lợi hơn.
Bài toán 8. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019)
Chứng minh rằng phương trình: nghiệm thực.
4x5 + 2018x + 2019 = 0 có duy nhất một
Nhận xét: Để chứng minh phương trình trên có duy nhất một nghiệm thực nếu không dùng công cụ đạo hàm thì việc chứng minh phương trình có nghiệm thì
khá đơn giản nhưng để khẳng định tính duy nhất của nghiệm thì tương đối phức tạp bởi vậy khi dạy bài này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát hiện được sự cần thiết của việc sử dụng công cụ của đạo hàm và đặc biệt là các tính chất 4 và tính chất 3. Sau khi học sinh nhận biết và phát hiện ra vấn đề thì giáo viên cho học sinh thực hiện giải quyết vấn đề và trình bày lời giải.
Lời giải Định hướng 1: (sử dụng kiến thức lớp 12).
Xét hàm số
f ( x) = 4x5 + 2018x + 2019
liên tục trên .
Ta có
y ' = 20x4 + 2018 > 0 " x Î .
Áp dụng tính chất 4 suy ra phương trình
x Î	(1) .
f ( x) = 0
có tối đa một nghiệm
Ta có
f (0) = 2019;
f (-1) = -3 Þ
f (0) f (-1) < 0 .
Áp dụng tính chất 3 suy ra phương trình
a Î(-1;0) (2) .
f ( x) = 0
có ít nhất một nghiệm
Từ (1); (2)
suy ra phương trình
f ( x) = 0
có nghiệm duy nhất
a Î(-1;0) .
Do vậy, phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm thực.
Định hướng 2: (sử dụng kiến thức lớp 11).
Xét hàm số
f ( x) = 4x5 + 2018x + 2019

liên tục trên .
Ta có
f (0) = 2019;
f (-1) = -3 Þ
f (0) f (-1) < 0 .
Suy ra phương trình
Giả sử phương trình
f ( x) = 0
f ( x) = 0
có ít nhất một nghiệm
có nghiệm b ¹ a .
a Î(-1;0).
Ta có
f (b) -
f (a) = 4(b5 - a5 ) + 2018(b - a).
Nếu b < a thì b5 < a5 . Suy ra
4(b5 - a5 ) + 2018(b - a) < 0 .
Do vậy
f (b) - f (a) < 0 Þ
f (b) <
f (a) = 0
(vô lí).
Nếu
b > a Þ b5 > a5 . Suy ra
4(b5 - a5 ) + 2018(b - a) > 0 .
Do vậy
f (b) - f (a) > 0 Þ
f (b) >
f (a) = 0 (vô lí).
Vậy điều giả sử là sai. Do vậy, phương trình

f ( x) = 0

có nghiệm duy nhất x = a

(đpcm).
Qua hai định hướng giải trên cho học sinh so sánh và rút ra tính ưu việt của việc sử dụng công cụ đạo hàm. Giáo viên hình thành được các kỹ năng và các năng lực toán học cần thiết cho học sinh.
Đối với loại phương trình dạng
Ví dụ mở đầu:
f (u ) =
f (v)
x = y
Trước hết ta xét bài toán: Nếu 2 số
x, y thỏa cos x + x = cos y + y
thì
Nhận xét: Giả thiết chính là
f ( x) =
f ( y)
như vậy đã có bóng dáng của tính
chất	1,	công	việc	lại	ta	phải	chứng	minh	hàm	số	đơn	điệu	ta	có:
f (t ) = cost + t Þ f '(t ) = -sint +1³ 0,"t , do đó ta có: x = y
2	2
Phương trình đơn giản sau:
log x2 + x2 = log x + x
Nhận xét: Phương trình này ta thấy có dạng
f (x2 ) =
f ( x)
Xét hàm số
f (t ) = log2 t + t,"t > 0
suy ra
f '(t ) > 0
do đó hàm số tăng trên
(0, +¥)
do đó ta được
x2 = x Û x = 1, ( x > 0).
Từ đó tôi hình thành cho học sinh các bước giải như sau:
Bước 1. Biến đổi phương trình về dạng
Bước 2.
f (u ) =
f (v)
Xét hàm số
f (t )
trên MXĐ của phương trình.
Xét dấu
f '(t )
để xác định tính đồng biến ( nghịch biến).
Bước 3. Từ đó kết luận phương trình
f (u) =
f (v) Û u = v
Qua lớp bài toán dạng này trong dạy học giáo viên cần tổ chức cho học sinh trao đổi và thảo luận nhóm nhằm hình thành tốt năng lực hợp tác của học sinh đồng thời sẽ thấy được khó khăn và sai lầm thường mắc phải của học sinh như đả nêu ở mục 2.2.3
Ngoài ra giáo viên còn hình thành cho học sinh các năng lực như: Năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sáng tạo toán học và năng lực sử dụng công cụ toán học . Vì vậy trong dạy học giáo viên cần định hướng sao cho
Học sinh thu thập được thông tin và làm rỏ các thông tin
Học sinh nhận biết, phát hiện vấn đề.
Học sinh đề xuất và lựa chọn cách thức giải quyết.
Học sinh thực hiện và giả