Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

v2
n -1
ïì(u
n
+
au	= (u
n -1
n -1
+
-
au
n -1
ïî a .v	= 2 a .v	u
Þ í
n
n -1 n -1
ïî(u	-
n
au	= (u
n -1
n -1
au
n -1
)2
)2
ì
1 é
2n -1 ù
Þ ï
ïun =	ê(a + b
a )
2n -1
+ (a - b	a )
í
2 ë
1
ú
û
é
.
v	=
î
n
2 a ë
ê(a + b
a )
2n -1
- (a - b	a )
2n -1 ù
úû
2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy (x ) : ï
ìx1 = a
n
í
ïxn =
î
 n -1	
x 2
a .
2x
n -1
Xét hai dãy (un ),(vn ) : í n
ìïu
= u2
n -1
a.v2
n -1
; u	= a
ïîvn = 2vn -1un -1
1
; v1 = 1
(2 +

2)2

- (2 -

.
(2 +	2)2n -1 + (2 -	2)2n -1
2
n -1	n -1
2)2
Khi đó: xn = n =
u
vn
2n -1
a (a +	a )	+ (a -
(a +	a )2n -1 + (a -
a )2n -1
a )2n -1
.
Ví dụ 1.23: Cho dãy (un ) : í
ìïu1 = 1
ïîun = 5un -1 +
24un -1 - 8 "n ³ 2
2
. Tìm un ?
Giải:
Ta có: u2

= 9;u3

= 89;u4

= 881. Giả sử: un

= xun -1 + yun -2
Þ ìï9x + y
= 89
Û ìïx
= 10
. Ta chứng minh: u

= 10u	- u

"n ³ 3
î
íï89x
9y
= 881
íïy
= -1
n	n -1
n -2
î
Từ công thức truy hồi của dãy ta có: (u	- 5u	)2 = 24u2	- 8
n	n -1	n -1
Û u2 - 10u u
u2
+ 8 = 0
(	thay	n	bởi
n - 1,	ta	được:
n	n n -1
u2	- 10u	u
n -1
u2

- 8 = 0

(2).
n -2
n -2
n -1
n -1
Từ (1),(2) Þ u
, u là hai nghiệm của phương trình : t2
- 10u	t + u2
- 8 = 0
n -2	n
n -1
n -1
Áp dụng định lí Viet, ta có: un
un -2
= 10un -1 .
6
6
Vậy u	= 6 - 2 (5 - 2 6 )n -1 + 6 + 2 (5 + 2 6 )n -1 .
Dạng 13:
1) Dãy (un ) : í
ìïu1 = 1
Thật
ïîun = 5un -1 +
vậy:
aun -1 - 8	"n ³ 2
2
là dãy nguyên Û a = 24 .
u2 = 5 +	a - 8 = 5 + t
- 8
(t =	a - 8 Î	)
Þ u3 = 5 +
(t	+ 8)(t + 5)
2
2
n	2	2
Þ u Î	Û f (t) = (t2 + 8)(t + 5)2 - 8 = m2	(m Î	).
3
Mà (t2 + 5t + 4)2 < f (t) < (t2 + 5t + 14)2 kết hợp với f (t) là số chẵn ta suy ra
m = t2 + 5t + x với x Î {6, 8,10,12}. Thử trực tiếp ta thấy t = 4 Þ a = 24 .
Với dãy số (u ) : ïìu1 = a	 	, với a2 - b = 1 ta xác định
n	í	2
ïîun = aun -1 +	bun -1 + c	"n ³ 2
CTTQ như sau:
Từ dãy truy hồi Þ (u	- au	)2 = bu2	+ c Û u2 - 2au u	+ u2	- c = 0
n	n -1	n -1	n	n n -1	n -1
Thay n bởi n - 1, ta có: u2	- 2au	u	+ u2	- c = 0 Þ u	+ u	= 2au	.
n -2	n -1 n -2	n -1	n	n -2	n -1
ìu1 = a
Với dãy (u ) : ï	u	,trong đóa > 0;a > 1; a2 - b = 1
n	íu	=	n -1	"n ³ 2
n
ïî	a +	cu2	+ b
n -1
ta xác định CTTQ như sau:
Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng:	1 =	a	+	c +	b	. Đặt x	= 1
un	un -1	u2	n	u
n -1	n
Ta có u	= au	+	bx 2	+ c đây là dãy mà ta đã xét ở trên.
n	n -1	n -1
ìu1 = u2 = 1
Ví dụ 1.24: Cho dãy (u ) : ï	u2	+ 2
n	í	n -1	
ïun =	u
î	n -2

"n ³ 2

. Tìm un

?

Giải:
Ta có: u3

= 3;u4

= 11;u5

= 41. Ta giả sử un

= xun -1 + yun -2

z .
Từ u3
= 3;u4
= 11;
u5 = 41 ta có hệ phương trình:
ìx + y + z = 3	ìx = 4
ï	ï
í3x + y + z = 11	Û íy = -1 Þ un
= 4un -1 - un -2
ï11x + 3y + z = 41	ïz = 0
î	î
Ta chứng minh (un
) : ìïu1
í
u
= u2 = 1
= 4u	- u

"n ³ 3
îï n	n -1
n -2
Với n
= 3 Þ u3
= 4u2
u1
= 3 Þ n
= 3 đúng
Giả sử uk
= 4uk -1 - uk -2
. Ta có:
u2 + 2
(4u
- u	)2 + 2

16u2

8u	u

+ u2	+ 2
u	= k	
=	k -1	k -2	=	k -1	k -1 k -2	k -2	
k +1
u	u	u
k -1
16u2

8u	u
k -1
u	u
k -1
=	k -1	k -1 k -2	k -1 k -3
uk -1
= 16uk -1 - 8uk -2
uk -3
= 4(4uk -1 - uk -2 ) - (4uk -2
- uk -3 ) = 4uk
uk -1
3
2
Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm
Þ un
= 3 + 1 2 -
3
(
2
3 )n -1 + 3 - 1 (2 +
3 )n -1 .
SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ
Nhiều dãy số đại số có công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế lượng giác. Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau
ì
Ví dụ 2.1: Cho dãy (u ) :
ï
u
1
=
1
n
í
. Xác định CTTQ của dãy (u ).
ïu
2
n
î n
= 2u2
n -1
- 1 "n ³ 2
Giải:
Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số côsin
Ta có: u	= 1 = cos p Þ u	= 2 cos2 p - 1 = cos 2p

1	2	3	2	3	3
Þ u	= 2 cos2 2p - 1 = cos 4p Þ u	= cos 8p

....
3	3	3	4	3
2n -1p
Ta chứng minh un
= cos
3
22-1p
. Thật vậy
2p
Với n = 2 Þ u2
= cos
3
= cos
3
(đúng)
2n -2 p
2	2 2n -1p
2n -1p
Giả sử un -1
= cos
3
Þ un
= 2un -1 - 1 = 2 cos
1 = cos
3	3
Vậy un
2n -1p
=
cos
3

"n ³ 1 .
Nhận xét:
ì
Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số (u ) :
ï
n
í
u
1
=
3
.
ïu
2
î n
= 4u3
n -1
3u
n -1
"n ³ 2
Giải:
3	p

3 p	p	p

32p
Ta có: u1 =	2
= cos
6
Þ u2
= 4 cos
3 cos
6	6
3n -1p
= cos 3
6
Þ u3
= cos
.....
6
Bằng quy nạp ta chứng minh được: un
= cos	.
6
Với dãy số trên ta có thể sử dụng phương pháp thế lượng giác được khi u1 £ 1. Vậy
trong trường hợp u1 > 1 thì ta sẽ giải quyết như thế nào ? Khi đó để tìm CTTQ của
dãy số (u ) ta đặt u	= 1 (a + 1) ( trong đó a ¹ 0 và cùng dấu với u ).
n
1
2
a
1
Khi đó u	= 1 (a2 + 2 + 1 ) - 1 = 1 (a2 + 1 ) Þ u	= 1 (a4 + 1 )....
2
2
a2
2
a2
3
2
a4
Ta chứng minh được u	= 1 (a2n -1 +
n
2
1
a2n -1
) "n ³ 1. Trong đó a là nghiệm (cùng
dấu với u ) của phương trình : a2 - 2u a + 1 = 0 . Vì phương trình này có hai nghiệm
1
1
có tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau
u	=
1 éæ
n
2 êè
êçu
1
-	u2 - 1 ÷
n -1
ö2
1
+ çu +	u2 - 1 ÷
æ
ö2	ù
n -1
1
1
ú .
ë
ø
è
ø
ú
û
Nhận xét:
1) Để tìm CTTQ của dãy (un ) : í
ìïu1 = p
î
u	= 4u
3
n
n -1
3u
, ta làm như sau
n -1
"
n ³ 2
Nếu | p |£ 1 Þ $a Î éë0;p ùû : cosa = p .
ì
Ví dụ 2.3: Tìm CTTQ của dãy (u ) :
ï
u
1
=
3
n
í
ïu
2
.
î n
= 2 - u2	"n ³ 2
n -1
Giải:	Đặt
- 3 = cosa, a Î æ p ;p ö ,	khi	đó	:
4	ç 2	÷
è	ø
u	= -2 cosa Þ u	= 2(1 - 2 cos2 a) = -2 cos 2a .
Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : u	= cos 3n -1a .
n
Nếu | p |> 1, ta đặt u	= 1 æa + 1 ö (a cùng dấu với u )
1
2 ç	a ÷
è
ø
1
Bằng quy nạp ta chứng minh được u
n
= 1 æa 3n -1 +
1
2 ç
ö
.
è
a
3n -1 ÷
ø
Hay u	=
1 éæ
n -1
ö3
æ
ö3	ù
n -1
n
2 êè
êçu
1
-	u2 - 1 ÷
1
+ çu +	u2 - 1 ÷
1
1
ú .
ë
ø
è
ø
ú
û
2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số
(u ) : ïìu1 = p
n
îun = 4u
3
bằng cách đặt u	= 1 (a - 1). Khi đó bằng quy
n -1
+ 3u	"n ³ 2
1
n -1
2
a
nạp
ta
chứng
minh
được
:
u	=
1 æ
n -1
1
ö
1 éæ
n
2 è
ça3
-
a3n -1 ø
÷ =
2 êè
êçu
n -1
ö3
æ
ö3	ù
n -1
1
+
u2 + 1 ÷
1
çu
1
-	u2 + 1 ÷
1
ú .
ë
ø
è
ø
ú
û
1	2
n
Bằng quy nạp ta chứng minh được

u	= -2 cos 2n -1a .
ì
Ví dụ 2.4: Tìm CTTQ của dãy số (u ) : ï
ïu1 = 2 	
1
n
í
.
ï
ïun =
2 - 2 1 - u2
n -1
î
2
"n ³ 2
Giải:
1	p


2 - 2 1 - sin2 p
6

2(1 -

p
p
cos	)
6
Ta có: u1
=	= sin
2	6
Þ u2 =	2
=	= sin
2	2.6
Bằng quy nạp ta chứng minh được: un
= sin p	.
2n -1.6
Ví dụ 2.5: Cho a,b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a < b và hai dãy
ì
(an ),(bn ) được xác định: í
ïa1 =
a + b
2
;b1 =
b.a1
ïa
ïî n
= n -1	n -1 ;b
a	+ b
2
n
=
a b
. Tìm an và bn .
n n -1
"n ³ 2
Giải:
Ta có: 0 < a < 1 nên ta đặt a = cosa với a Î æ 0; p ö
b	b	ç	2 ÷
è	ø
Khi đó: a
= b cosa + b
= b(1 + cosa) = b cos2 a và
b =	= b cos a
b.b cos2 a
2
1	2	2	2	1	2
a + b
b cos2 a + b cos a	a	a	a	a
a	= 1	1
=	2	2
= b cos	.cos2	và
b	= b cos	cos	.
2	2	2	2	22	2
2	22
Bằng quy nạp ta chứng minh được:
a	= b cos a cos a
n	2	22
...cos2 a
2n

và bn
= b cos a cos a
2	22
...cos a .
2n
ìu
=	3
Ví dụ 2.6: Cho dãy (un ) : í
ï 1
ïun =
ïî
un -1 +
1 + (1 -
2 - 1
2)un -1
"n ³ 2
. Tính u2003 (Trích đề thi
Olympic 30 – 4 – 2003 Khối 11).
Giải: Ta có
tan p
8

=	- 1 Þ un =
un -1
tan p
8
2
p
3
p	tan p
1 - tan 8 un -1
tan p	p	p
Mà u1
=	= tan 3
Þ u2
=	3	8 = tan(	+	) 1 - tan p tan p	3	8
3	8
Bằng quy nạp ta chứng minh được u	= tan ép + (n - 1) p ù .
3	8
n	ê	ú
ë	û
Vậy u
= tanæ p
+ 2002p ö = tanæ p
+ p ö = -(

+ 2).
2003
ç 3	8
÷	ç 3	4 ÷
3
è	ø	è	ø
Chú ý : Để tìm CTTQ của dãy (u ) : ï
ìu1 = a
n
í
ï n
u	=
 n -1	
u	+ b
"n ³ 2 .
î
1 - bu
n -1
Ta đặt a = tana;b = tan b , khi đó ta chứng minh được: un = tan éëa + (n - 1)b ùû
ìu
Ví dụ 2.7: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : íu
ï 1
n
=
=
3
un -1
1 +	1 + u2
"n ³ 2 .
î
n -1
Giải: Ta có:	1
un
=	1	+
un -1
. Đặt xn =
1 +
1
u2
n -1
1
u
n
khi đó ta được dãy (xn )
được
3
xác định như sau: x1 =
1	và x
n = xn -1 +
.
1 + x 2
n -1
1 + cos p
1
Vì x1 =
= cot p
3
3
Þ x2
= cot p +
3
=	3
1 + cot2 p
3
sin p
3
= cot
p
2.3
Bằng quy nạp ta chứng minh được: x
= cot p	Þ u	= tan p	

"n = 1,2,...
n	2n -1.3	n	2n -1.3
XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH
Trong mục này chúng tôi sử dụng một số kiến thức của toán cao cấp để xây dựng một phương pháp xác định CTTQ của dãy số. Phương pháp này đưa vòa chỉ mang tính chất tham khảo, đó là phương pháp hàm sinh.
Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng các kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt là công thức Taylor). Trước hết ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 1: Cho dãy số a0,a1,a2,...,an ,....
Chuỗi hình thức
A(x) = a
a x + a x2 + ... + a xn
+ ...
gọi là hàm sinh của dãy
(an )
0	1	2	n
Ta gọi đó là chuỗi hình thức vì ta không xét đến tính hội tụ hay tính giá trị của chuỗi mà ta chỉ xem đó như là một cách viết thuận tiện vậy. Ta đưa vào một số phép toán trên các chuỗi để xác định các hệ số cho các lũy thừa biến x .
Định nghĩa 2: Với hai chuỗi bất kì A(x) = a	+ a x + ... + a xn
... và chuỗi
0	1	n
B(x) = b + b x + b x2 + ... + b xn +	Ta định nghĩa:
0	1	2	n
Phép cộng: A(x) + B(x) = a
+ b + (a + b )x + ... + (a	+ b )xn
+ ...
0	0	1	1	n	n
Phép nhân với một số: k.A(x) = ka
0 + ka1
... + ka xn
+ ...
n
Tích hai chuỗi: A(x).B(x) = c	+ c x + ... + c xn
+ ...
0	1	n
với ck
= akb0
+ ak -1b1 + ... + a0bk
k
= åaibk -i .
i =0
Trong phương pháp này ta thường hay sử dụng công thức khai triển Newton mở rộng
sau: (1 +
x )a
= 1 + ax
+ a (a
1 x
2
)
2
+ ... + a (a
- 1)...(a
n + 1 x