Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng

1 
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 
1.Tên sáng kiến: “ Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng” 
 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 
3.Thời gian áp dụng sáng kiến: 
 Từ ngày 10 tháng 10 năm 2014 đến ngày 10 tháng 05 năm 2016 
4. Tác giả: 
Họ và tên: NGUYỄN ĐÌNH DÙNG 
Ngày sinh: 12/08/1975 
Nơi thƣờng trú: Trực Thanh, Trực Ninh, Nam Định 
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học. 
Chức vụ công tác: Phó hiệu trƣởng. 
Nơi làm việc: Trƣờng THPT Trực Ninh. 
Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Đình Dùng xã Trực Thanh,Trực Ninh, Nam Định 
Điện thoại: 0917493236 
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến 100% 
5. Đồng tác giả (nếu có): không 
Họ và tên. 
 Năm sinh:  
 Nơi thƣờng trú: ... 
 Trình độ chuyên môn: . 
 Chức vụ công tác:  
 Nơi làm việc:  
 Địa chỉ liên hệ: . 
6.Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
Tên đơn vị: Trƣờng THPT Trực Ninh. 
Địa chỉ: TT Cát Thành – huyện Trực Ninh – tỉnh Nam Định. 
Điện thoại: 03503883099. 
2 
BÁO CÁO SÁNG KIẾN 
I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến 
Trong chƣơng trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề 
thi chọn học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập liên quan đến dãy số rất phong 
phú, đa dạng. Hiện nay trong các trƣờng THPT nói chung nhiều giáo viên bộ 
môn Toán đã khai thác có hiệu quả các vấn đề liên quan đến dãy số, tuy nhiên 
việc đi sâu tìm hiểu để dạy, bồi dƣỡng, học sinh giỏi các cấp về dạng bài tập 
cho học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy số trong chƣơng trình Toán phổ 
thông còn hạn chế. Đặc biệt việc bổ sung nguồn tài liệu cho giáo viên tổ 
Toán của nhà trƣờng để tham khảo và ôn thi cho học sinh lớp 11,12 nhằm 
mục đích cho học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi tỉnh và kì thi học sinh 
giỏi quốc gia . 
Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục 
vụ ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trƣờng THPT , tôi chọn hƣớng 
nghiên cứu để viết báo cáo sáng kiến với đề tài: "Một số dạng toán về dãy số 
và ứng dụng" với mục đích: Hệ thống và đƣa ra lời giải một cách chi tiết cho 
một số dạng bài toán về dãy số và ứng dụng trong bồi dƣỡng học sinh giỏi 
Toán ở THPT. 
Nhiệm vụ chính của sáng kiến bao hàm: 
(1). Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về dãy số, một số tính chất về dãy số và 
một số ứng dụng của dãy số đƣợc giới thiệu trong chƣơng trình phổ thông. 
(2). Chọn lọc một số dạng bài tập liên quan đến dãy số thƣờng xuất hiện trong 
các đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia và cố gắng đƣa ra lời 
giải tƣờng minh cho những bài tập mà tài liệu tham khảo chƣa đƣa ra lời giải 
chi tiết. 
II. Mô tả giải pháp 
1.Trước khi tạo ra sáng kiến 
3 
Trong chƣơng trình toán THPT dạng toán dãy số là khá mới mẻ với học 
sinh, trong các kì thi chất lƣợng của nhà trƣờng rất ít đề cập đến dạng toán về 
dãy số ở dạng vận dụng và vận dụng cao, vì vậy nguồn tài liệu ôn tập thƣờng 
xuyên cho học sinh khá giỏi là không nhiều. Với học sinh khá giỏi niềm say 
mê toán học không chỉ dừng lại mức độ nhận biết, mà biết vận dụng, vận 
dụng cao. Đặc biệt hằng năm UBND tỉnh và Sở giáo dục tổ chức thi để tuyển 
chọn học sinh giỏi của tỉnh đi tham dự thi kì thi học sinh giỏi quốc gia, đối 
tƣợng học sinh THPT không chuyên thƣờng lúng túng về dạng toán về dãy số 
vì do học sinh ít đƣợc tiếp cận biết đƣợc cách làm. Trong quá trình giảng dạy 
đội tuyển học sinh giỏi , nhiều em học sinh có tâm lý lo sợ khi gặp bài toán 
này, mặc dù niềm say mê toán học của các em vẫn có song do tiếp cận ít nên 
các em không tự tin giải dạng toán này. Vì vậy việc phân chia một số dạng 
toán về dãy và ứng dụng giúp các em tự định ra phƣơng pháp, kinh nghiệm 
cho bản thân để tiếp tục nâng cao niềm say mê toán học của các em, các đồng 
nghiệp có nguồn tài liệu tham khảo để giảng dạy. 
2. Sau khi có sáng kiến 
Sáng kiến này viết theo cấu trúc gồm 2 chƣơng bao hàm kiến thức chuẩn 
bị và phân ra các dạng toán về dãy số, đặc biệt nêu một số ứng dụng của dãy 
số giúp học sinh giải quyết đƣợc rất nhiều dạng bài trong các đề thi chọn học 
sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia nhƣ bất đẳng thức, các bài hình học 
Dạng toán về dãy số và ứng dụng sẽ mang lại cho học sinh nhiều kinh 
nghiệm, định hƣớng giải về toán dãy số.Học sinh say mê toán học tìm thấy rất 
nhiều điều bổ ích, không ngại giải những dạng bài này. 
4 
III. NỘI DUNG. 
 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 
1.1. Dãy số 
1.1.1. Định nghĩa 
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dƣơng ℕ∗ đƣợc gọi là 
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: 
 u: ℕ∗ 
 n u(n) 
Dãy số thƣờng đƣợc viết dƣới dạng khai triển: u1, u2, u3,, un,  trong 
đó u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của 
dãy số. 
 Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,, m} với *m đƣợc gọi 
là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của của dãy số hữu hạn: u1, u2, 
u3,,um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. 
Dãy số (un) đƣợc gọi là: 
- Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2,  
- Dãy đơn không giảm nếu un+1 un, với moi n = 1, 2,  
- Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2,  
 - Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1 un, với mọi n = 1, 2,  
Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M, với mọi 
n = 1, 2, ; đƣợc gọi là dãy số bị chặn dƣới nếu tồn tại số m sao cho un > m, 
với mọi n = 1, 2, ; Một dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn 
dƣới. 
Dãy số (un) gọi là tuần hoàn với chu kì k nếu un + k = un, với 
*n . 
Dãy số (un) gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N0 sao cho un = C với 
mọi n N0, (C là hằng số, gọi là hằng số dừng). 
1.1.2. Cách xác định một dãy số 
i). Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 
5 
Ví dụ: 
1 1 5 1 1 5
2 25 5
n n
nu
ii). Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi 
Ví dụ: Dãy số (un) đƣợc xác định bởi: 
1 2
1 1
1, 50
4 5 1975 2,3,4...
n n n
u u
u u u n
iii). Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 
Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98. Với mỗi số nguyên n 1, xác định an +2 
bằng số dƣ của phép chia an + an +1 cho 100. 
1.1.3 Giới hạn của dãy số 
 Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là hằng số thực a hữu 
hạn nếu với mọi số dƣơng  (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số 
0n (n0 có 
thể phụ thuộc vào  và vào dãy số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n , 
0n n ta luôn có nu a  . Khi đó kí hiệu lim n
n
u a
 hoặc limun = a và còn 
nói rằng dãy số (un) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì. 
 Định lý 1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất 
 Định lý 2 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass): 
a). Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 
b). Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 
c). Một dãy số giảm và bị chặn dƣới thì hội tụ. 
 Định lý 3 : Nếu (un) a và (vn) (un), (vn) C thì (vn) a. 
 Định lý 4 (Định lý kẹp giữa về giới hạn): 
 Nếu với mọi 0n n ta luôn có un xn vn và limun = limvn = a thì limxn 
= a. 
 Định lý 5 (Định lý Lagrange): 
 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong 
khoảng (a; b) thì tồn tại c (a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a). 
 Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro): 
6 
 Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng 
1 2
...
n
u u u
n
 cũng có giới hạn là a. 
 Định lý có thể phát biểu dƣới dạng sau: 
 Nếu 1lim n n
n
u u a
 thì lim n
n
u
a
n 
 (Định lý Stolz). 
 Định lý 7: Cho f: D D là hàm liên tục, khi đó: 
i). Phƣơng trình f(x) = x có nghiệm phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm. 
ii). Gọi ,  là các mút trái, mút phải của D. Biết lim [ ( ) ]
x
f x x
 và 
lim [ ( ) ]
x
f x x
 
 cùng dƣơng hoặc cùng âm. Khi đó phƣơng trình f(x) = x có 
nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất 
trong đó fn(x) = 
ân
( (....( ( )...)
n l
f f f x 
Chứng minh 
 i). Nếu x0 là nghiệm của phƣơng trình f(x) = x thì x0 cũng là nghiệm 
của phƣơng trình fn(x) = x. Ngƣợc lại, nếu phƣơng trình f(x) = x vô nghiệm thì 
f(x) – x > 0 hoặc f(x) – x 0 hoặc fn(x) – x 
< 0 với mọi x D nên phƣơng trình fn(x) = x cũng vô nghiệm. 
 ii) Giả sử phƣơng trình f(x) = x có nghiệm duy nhất là x0 thì đây cũng 
là một nghiệm của phƣơng trình fn(x) = x. Đặt F(x) = f(x) - x do F(x) liên tục 
trên (x0;  ) và 0; x nên F(x) giữ nguyên một dấu. 
 Nếu lim [ ( ) ]
x
f x x
 và lim [ ( ) ]
x
f x x
 
 cùng dƣơng thì F(x) > 0 trong khoảng 
(x0;  ) và 0; x suy ra f(x) > x với mọi x D\{x0}. 
 Xét x1 D\{x0} suy ra f(x1) > x1 f(f(x1)) > f(x1)> x1 => fn(x1) > x1 nên 
x1 không là nghiệm của phƣơng trình fn(x) = x. 
Vậy phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất x = x0. 
 Nếu lim [ ( ) ]
x
f x x
 và lim [ ( ) ]
x
f x x
 
 cùng âm chứng minh tƣơng tự. 
7 
 Ta thấy mọi nghiệm của phƣơng trình fn(x) = x đều là nghiệm của 
phƣơng trình fn(x) = x, do đó nếu phƣơng trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất 
thì phƣơng trình fn(x) = x cũng có nghiệm duy nhất. 
Định lý 8: Cho hàm f: D D là hàm đồng biến. Dãy (xn) thỏa mãn xn+1 
= f(xn), 
*x , khi đó: 
i). Nếu x1< x2 thì dãy (xn) tăng. 
ii). Nếu x1< x2 thì dãy (xn) giảm. 
Chứng minh (bằng phƣơng pháp quy nạp) 
- Với n = 1, ta có x1 < x2 mệnh đúng. 
- Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k 1) tức uk < uk +1 khi đó f(uk) < f(uk+1) suy 
ra uk+1 < uk+2 (đpcm). 
Định lý 9: Cho hàm f: D D là hàm nghịch biến. Dãy (xn) thỏa mãn 
xn+1 = f(xn), 
*x . Khi đó: Các dãy (x2n+1) và (x2n) đơn điệu, trong đó một 
dãy tăng, một dãy giảm. 
i). Nếu dãy (xn) bị chặn thì  = limx2n và  = limx2n+1. 
ii). Nếu f(x) liên tục thì ,  là nghiệm của phƣơng trình f(f(x)) = x (1). 
iii). Nếu phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì =  và limxn = =  
Chứng minh: 
i). Vì f(x) là hàm nghịch biến nên f(f(x)) đồng biến. Áp dụng định lý 2 
ta có điều phải chứng minh. 
 ii). Suy ra từ i) 
 iii). Ta có f(f(x2n) = f(x2n+1) = x2n+2 và lim f(f(x2n) = limx2n+2 = , 
limx2n = do f(x) liên tục nên f(f( ) = . 
Chứng minh tƣơng tự ta có f(f( ) =  . 
Vậy ,  là nghiệm phƣơng trình f(f(x)) = x. 
1.2 Một vài dãy số trong chương trình Toán phổ