Sáng kiến kinh nghiệm Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh

inh hình học, có như thế mới tạo cho học sinh tâm lý tự tin đối với môn học và là cơ sở cho những năm học sau.
      Hiện nay trong dạy học hình học có tình trạng là nhiều học sinh không giải được toán hình học, do đó những học sinh này không những không có điều kiện để hiểu rõ thêm những tri thức hình học (kể cả phép chứng minh) mà còn dễ bi quan, thiếu tự tin, mất hứng thú học tập. Cho nên dạy giải toán hình học, trước hết phải làm cho học sinh giải được toán, nhất là học sinh yếu, sao cho khả năng giải đó ngày càng tăng lên. Muốn thế cần chú ý các biện pháp sau:
- Mỗi tiết học nhất thiết dành thời gian làm một số bài tập ở lớp, những bài tập này phải lựa chọn sao cho có tác dụng gợi ý giúp học sinh giải được các bài tập cho về nhà.
- Tập cho học sinh thói quen chuẩn bị tốt trước khi chứng minh, phần chuẩn bị này không ngoài những điểm sau :
    +  Đọc kỹ đề, phải hiểu rõ nghĩa tất cả các từ trong bài, nhằm hoàn toàn hiểu ý bài tập đó
    +  Phân biệt được giả thiết và kết luận của bài tập, rồi dựa vào những điều đã cho trong giả thiết để vẽ hình. Hình vẽ cần phải chính xác, rõ ràng.
    +  Ghi được giả thiết và kết luận của bài toán; biết thay những từ toán học trong bài bằng các ký hiệu, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn và dễ hiễu hơn.
Yêu cầu 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh óc tìm tòi cách giải bài toán
     Một trong những phương pháp toán học quan trọng nhất, có tác dụng rõ rệt trong việc rèn luyện ở học sinh óc tìm tòi cách giải bài toán hình học là phương pháp phân tích, đặt biệt là phương pháp phân tích đi lên. Phương pháp này thường bắt đầu từ kết luận. Tìm những điều kiện cần phải có để dẫn tới kết luận đó; rồi nghiên cứu từng điều kiện, xét xem điều kiện nào có thể đứng vững được, ngoài ra cần có những điều kiện gì nữa. Cứ như vậy suy ngược từng bước, cho đến lúc những điều kiện đó phù hợp với giả thiết mới.
Yêu cầu 3: Dạy học sinh tìm tòi những cách giải khác nhau của một bài toán hình học và biết lựa chọn cách giải tốt nhất.
   Việc dạy học sinh tìm tòi nhiều cách giải khác nhau là hoàn toàn có thể thực hiện được vì:
- Khả năng giải bài toán bằng nhiều cách phụ thuộc vào vốn kiến thức hình học của từng học sinh, vốn kiến thức đó được tích lũy dần qua các lớp học.
- Có thêm kiến thức mới, tìm được cách giải tốt hơn sẽ làm cho học sinh năng động hơn, yêu thích môn học hơn và tất sẽ có kết quả học tập ngày càng tốt hơn
Để giúp học sinh có khả năng tìm tòi những cách giải khác nhau, giáo viên cần:
     + Giúp đỡ học sinh tích lũy, hệ thống hóa và nắm vững các cách chứng minh khác nhau của cùng một tương quan hình học (bằng nhau, song song, thẳng hàng, cùng nằm trên một đường tròn ).
    + Tập cho học sinh biết phân tích đề bài, biết căn cứ vào giả thiết (tức tình huống cụ thể) mà lựa chọn một số công cụ thích hợp trong loại công cụ có liên quan đến luận điểm. Như vậy trong số những con đường đi vừa xuất hiện, học sinh có thể loại trừ ngay những con đường không thích hợp và chỉ giữ lại một số con đường thích hợp. Đối với nhiều học sinh, lúc đầu phải thử với từng con đường đi còn lại đó, có thể thất bại nhiều lần mới xác định con đường đi đúng. Nhưng chính công việc mò mẫm ban đầu đó lại cần thiết trong quá trình nghiên cứu khoa học.
     + Luôn luôn khuyến khích việc tìm nhiều cách giải khác nhau, khi học lý thuyết cũng như khi giải toán, có những hình thức động viên khác nhau đối với những đối tượng học sinh khác nhau. Chúng ta không nên đòi hỏi học sinh tìm được cách giải độc đáo. Tất nhiên như vậy là rất quý. Trong mọi trường hợp, mỗi cố gắng tìm tòi độc lập của học sinh điều có giá trị, cần được trân trọng xem xét và khai thác để nâng cao tính giáo dục .
   Rõ ràng rằng nếu giáo viên thành công trong việc làm cho học sinh có hứng thú tìm kiếm những cách giải khác nhau một bài toán hay những cách chứng minh khác nhau một định lý thì điều đó không những làm cho học sinh nắm vững thêm những kiến thức hình học đã học, biết vận dụng chúng một cách linh hoạt sáng tạo mà còn giúp phát triển năng lực nghiên cứu  của học sinh
 Yêu cầu 4: Dạy học sinh biết khai thác bài toán 
    Nếu biết khai thác nhiều khía cạnh của một bài toán sẽ giúp phát triển cao nhất năng lực nhận thức của học sinh. Giáo viên nắm kĩ và biết tổ chức khai thác bài toán, nhằm phát huy tính độc lập sáng tạo của học sinh, giúp học sinh “học một biết mười”.
     Đối với những bài toán khác nhau có thể có những cách khai thác khác nhau. Sau đây là một số hướng khai thác cần thiết :
    + Thay đổi một phần của giả thiết, ví dụ xét trường hợp đặc biệt hoặc trường hợp rộng hơn , thì kết quả thay đổi như thế nào, hoặc có thể thay đổi những gì ở giả thiết thì cách giải và kết quả vẫn không thay đổi.
     + Có thể giải quyết thêm vấn đề gì mới, ví dụ xét mệnh đề đảo, dựa vào bài toán này có thể giải bài toán tương tự nào khác hoặc đặt ra bài toán nào khác.
Yêu cầu 5: Nâng cao kỹ năng giải toán hình học cho học sinh và tiếp tục dạy cho học sinh trình bày tốt bài giải. 
    Việc xây dựng cho học sinh một nền nếp tốt trong việc giải toán hình học là rất quan trọng và cần được chú trọng ngay từ giai đoạn đầu học hình học. Kỹ năng giải toán hình học được nâng cao dần trên cơ sở hình thành và hoàn thiện những thói quen, nền nếp làm bài tập. Sau đây là những thói quen, nền nếp quan trọng, nêu dưới dạng quy tắc :
      - Đọc kỹ đầu bài, vẽ hình rõ và đúng, hiểu rõ và ghi giả thiết, kết luận bài toán theo ngôn ngữ và ký hiệu hình học.
      - Nhớ và huy động bộ công cụ liên quan đến kết luận của bài toán, căn cứ vào nội dung của giả thiết mà lựa chọn những công cụ thích hợp.
     - Sử dụng hết những điều giả thiết đã cho. Trong nhiều trường hợp, không tìm ra cách giải là vì còn có điều trong giả thiết chưa sử dụng đến.
     - Mỗi điều khẳng định của mình phải có căn cứ.
     - Từng bước, từng phần phải kiểm tra để kịp thời phát hiện và sửa những sai lầm nếu có
     - Khi giải xong, nhìn lại con đường vừa đi: có thể coi đây là giai đoạn nhận thức tư tưởng, giai đoạn tích lũy kinh nghiệm.
1.2 Về phía học sinh: 
- Thực hiện tốt nhiệm vụ hướng dẫn tự học do giáo viên giao.
- Đọc sách tham khảo, làm nhiều bài tập, tìm bằng được đáp án.
- Tích cực học tập trên lớp.
- Rèn kỹ năng vẽ hình.
2. Các nhóm biện pháp
2.1. Giảng lý thuyết:
a) Sau khi gi¶ng mçi kiÕn thøc, gi¸o viªn h­íng dÉn ngay häc sinh biÕt c«ng dông cña kiÕn thøc ®ã dïng ®Ó chøng minh g×? Khi chøng minh ph¶i chØ ra nh÷ng dÊu hiÖu g× cña gi¶ thiÕt cÇn cã ®Ó ®i ®Õn kÕt luËn.
* Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Dạy dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
- Công dụng: chứng minh hai đường thẳng song song.
- Mô hình suy luận:GT
c cắt d và d’
 hoặc hoặc 
KL
d // d’
 Hình 1
Ví dụ 2: Dạy tính chất hai đường thẳng song song.
- Công dụng: tính số đo góc.
- Mô hình suy luận:
GT
d // d’; 
c cắt d và d’
KL 
 ; 
 ;
 Hình 2
Ví dụ 3: Dạy tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
- Công dụng: Chứng minh các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
- Mô hình để suy luận (hình 4):
GT
ABC = A’B’C’
KL
AB = A’B’; AC = A’C’
BC = B’C’
 Hình 4
- Mô hình để chứng minh hai tam giác bằng nhau (hình 4):
+ Trường hợp cạnh- cạnh – cạnh (c-c-c)
GT
ABC ; A’B’C’
AB = A’B’ 
AC = A’C’
BC = B’C’
KL
ABC = A’B’C’
+ Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c)
GT
ABC ; A’B’C’
AB = A’B’ 
BC = B’C’
KL
ABC = A’B’C’
+ Trường hợp góc- cạnh – góc (g-c-g)
GT
ABC ; A’B’C’
BC = B’C’
KL
ABC = A’B’C’
- §Ó chøng minh hai gãc hay c¸c cÆp ®o¹n th¼ng b»ng nhau b»ng ph­¬ng ph¸p tam gi¸c bằng nhau ta cã thÓ lµm theo c¸c b­íc :
B­íc 1: XÐt hai tam gi¸c cã chøa hai gãc ®ã hay c¸c cÆp ®o¹n th¼ng Êy.
B­íc 2: Chøng minh hai tam gi¸c ®ã bằng nhau.
B­íc 3: Suy ra c¸c cÆp gãc, c¸c cÆp c¹nh t­¬ng øng b»ng nhau.
- NÕu D ABC cã = 900, D A’B’C’ cã = 900 (h×nh 5)
Th× viÖc chøng minh hai tam gi¸c nµy bằng nhau sÏ ®¬n gi¶n h¬n theo hai tr­êng hîp 
TH1: Cạnh huyền- góc nhọn:
GT
ΔABC ()
ΔA’B’C’ ()
BC = B’C’
KL
ABC = A’B’C’
 Hình 5.
TH2: Cạnh huyền – cạnh góc vuông.
GT
ΔABC ()
ΔA’B’C’ ()
BC = B’C’
AB = A’B’
KL
ABC = A’B’C’
Ví dụ 4: Dạy định lý Pytago.
- Công dụng: tính độ dài cạnh của tam giác vuông.
- Mô hình để suy luận (hình 6):
GT
ΔABC 
KL
BC2 = AB2 + AC2
 Hình 6
Dạy định lý Pytago đảo:
- Công dụng: chứng minh tam giác vuông.
- Mô hình để suy luận (hình 5)
GT
ΔABC 
BC2 = AB2 + AC2
KL
b) Khả năng giải bài tập phụ thuộc nhiều vào việc tiếp thu kiến thức. Mỗi khi giảng khái niệm, định lý mới, cần có những câu hỏi, bài tập miệng giúp học sinh nắm vững các dấu hiệu bản chất của khái niệm, trước khi đi vào giải bài tập trong SGK.
*Ví dụ minh họa: Dạy định lý tổng ba góc trong tam giác.
Sau khi phát biểu và chứng minh định lý, giáo viên đưa ra câu hỏi vận dụng sau :
“ Cho biết số đo góc x trong mỗi hình vẽ sau:
2.2. Dạy bài tập tự luận:
* Khi dạy bài tập tự luận, giáo viên cần chia thành các dạng bài điển hình. Với mỗi dạng bài cần chỉ ra các phương pháp chứng minh cụ thể. Dưới đây là các dạng bài và phương pháp chứng minh của dạng bài đó trong phần hình học lớp 7.
2.2.1 Chứng minh các yếu tố bằng nhau:
a) Chứng minh hai góc bằng nhau:
* Để chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể thực hiện một trong các cách sau:
(1)	Chứng minh chúng là hai góc đối đỉnh
(2)	Chứng minh chúng cùng bằng một góc thứ ba.
(3)	Chứng minh chúng cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba
(4)	Chứng minh chúng là những góc so le trong (hoặc đồng vị, hoặc so le ngoài) tạo nên bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
(5)	Chứng minh chúng là hai góc đáy của một tam giác cân
(6)	Chứng minh chúng là hai góc tương ứng trong hai tam giác mà ta chứng minh được là bằng nhau.
(7)	Chứng minh chúng là các góc nhọn có cạnh tương ứng song song (hoặc vuông góc).
* Một số bài tập minh họa:
Bài tâp 1. Cho ΔABC có . Gọi Ax là tia đối của tia AC. Tia phân giác củagóc BAx cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng ΔKAB có hai góc bằng nhau.
Bài giải:
Có (kề bù)
Tính được 
Theo định lý tổng ba góc trong tam giác có:
Thay số :
Mà (kề bù)
=> 
=> (AK là tia phân giác của góc xAB)
=> 
Bài tập 2: Cho ΔABC vuông tại A. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại C. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D và cắt d tại E. Chứng minh rằng ΔCDE có hai góc bằng nhau.
Bài giải:
 BCE vuông tại C nên: (1)
 ABD vuông tại A nên: 
Mà (đối đỉnh) nên: 
 Mặt khác nên : (2)
Từ (1) và (2) suy ra => đpcm
Bài tập 3: Cho hình vẽ: Biết AB // OM // CD và Â = = 1200
Hỏi tia OM có là tia phân giác AOC không?
Bài giải:
AB // OM (hai góc trong cùng phía)
CD // OM => (hai góc trong cùng phía)
 Tính được: 
Do đó 
Vậy OM là tia phân giác của góc AOC
*Bài tập đề nghị:
Cho A ABC, kẻ tia phân giác AD của góc A. Từ một điểm M thuộc
đoạn thẳng DC, ta kẻ đường thẳng song song với AD. Đường thẳng này cắt cạnh
AC ở điểm E và cắt tia đối của AB tại điểm F.
a) Chứng tỏ tam giác EAF có hai góc bằng nhau.
b) Chứng tỏ 
b. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
* Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta thường sử dụng các cách sau:
	(1)	Chứng minh chúng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
	(2)	Chứng minh chúng cùng bằng hiệu hoặc tổng của những đoạn bằng nhau.
 (3)	Sử dụng sự liên hệ giữa đường trung tuyến thuộc cạnh huyền với cạnh
huyền của tam giác vuông.
 (4)	Chứng minh chúng là hai cạnh bên của tam giác cân
 (5)	Chứng minh chúng là các khoảng cách từ một điểm thuộc tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc ấy.
(6)	Chứng minh chúng là các khoảng cách từ một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đến hai đầu mút của đoạn thẳng ấy.
(7)	Chứng minh chúng là những đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song.
(8)	Chứng minh chúng là hai cạnh tương ứng trong hai tam giác mà ta chứng minh chúng là bằng nhau.
* Một số bài tập minh hoạ:
Bài tập 1: Cho một góc nhọn xOy. Trên Ox ta đặt hai điểm A, B với OA < OB. Trên Oy ta đặt hai điểm C, D sao cho OC = OA, OD = OB.
a) Chứng minh: AD = BC
b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. CM: IA = IC và ID = IB.
c) Chứng minh: I nằm trên tia phân giác của xOy.
Bài giải
GT
A, B Ox, OA < OB
C, D Oy, OA = OC, OB = OD
AD cắt BC tại I.
KL
a) AD = BC
b) IA = IC, IB = ID
c) I thuộc tia phân giác của góc xOy
a) Xét OCB và OAD có:
 	OC = OA (gt)
	OB = OD (gt)
=> OCB = OAD (c-g-c) => BC = AD (hai cạnh tương ứng)
b) Vì OCB = OAD (cmt) => (hai góc tương ứng) (1)
	=> (hai góc tương ứng)
Mà (kề bù); (kề bù)
=> (2)
Lại có: CD = OC – OD; AB = OB – OA
Mà OA = OC; OB = OD (gt)
=> CD = AB (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ICD = IAB (g-c-g)
=> IA = IC; IB = ID (hai cạnh tương ứng)
c) Xét OCI và OAI có: 
OC = OA (gt)
IC = IA (cmt)
OI là cạnh chung.
=> OCI = OAI (c-c-c) => (hai góc tương ứng)
=> I nằm trên tia phân giác của góc xOy.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC có . Tia phân giác BD và CE của góc B và C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OH AC, OK AB. Chứng minh:
a) BCD = CBE
b) OB = OC
c) OH = OK
Bài giải:
GT
ABC, 
OH AC, OK AB
KL
a) BCD = CBE
b) OB = OC
c) OH = OK
a) Vì 
Xét BCD = CBE có: 
 (gt)
BC là cạnh chung
 (cmt)
=> BCD = CBE (g-c-g)
b) Từ (a) suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng)
Xét OBE và OCD có:
 (cmt)
BE = CD (cmt)
(cmt)
=> OBE = OCD (g-c-g) => OB = OC (hai cạnh tương ứng)
c) Xét OHB và OKC có:
OB = OC (cmt)
(cmt)
OHB = OKC (cạnh huyền - góc nhọn)
=> OH = OK (hai cạnh tương ứng)
* Bài tập đề nghị
Cho một đường thẳng d và ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy thuộc d.
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, ta vẽ hai tam giác đều ABD,
BEC. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, CD
a)	Chứng minh: AE = DC
b)	Chứng minh tam giác MBN là tam giác đều.
2.2.2 Chứng minh các đường thẳng song song, chứng minh các đường thẳng vuông góc.
a) Chứng minh hai đường thẳng song song.
* Ta có thể sử dụng các cách sau để chứng minh hai đường thẳng song song:
(1)	Chứng minh chúng tạo với một đường thẳng thứ ba các góc so le trong (hoặc
đồng vị) bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau.
(2)	Sử dụng tiên đề Euclide, thường chứng minh bằng phản chứng.
(3)	Chứng minh chúng cùng song song với một đường thẳng.
(4)	Chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng.
* Bài tập minh hoạ:
Bài tập 1. Cho hình vẽ sau. 
Hãy chứng tỏ đường thẳng xy // Am bằng 3 cách.	Bài giải:
Cách 1: Ta có (hai góc kề bù) => 
	Do đó 
	Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
xy // Am (hai góc đồng vị bằng nhau)
Cách 2: Tính => => xy // Am (hai góc SLT bằng nhau)
Cách 3: Tính => => xy // Am (hai góc TCP bù nhau).
Bài tập 2. Tìm trên hình vẽ bên các cặp đường thẳng song song:a
700
A
1100
b
B
1100
c
C
Bài giải: => a // b (hai góc TCP bù nhau)
	Tính => b // c (hai góc đồng vị bằng nhau)
	=> a // c (hai góc TCP bù nhau)
Bài tập 3. Cho hình vẽ bên:	
B
A
500
500
Chứng tỏ a // b
Chứng tỏ: a // c
Bài giải:
a) (cùng vuông góc với d)
b) . Mà hai góc này ở vị trí so le trong
=> b // c (hai góc SLT bằng nhau)
Vì a // b, b // c nên a // c (cùng song song với b)
*) Bài tập đề nghị:
1500
1200
300
N
x
z
M
t
y
O
Cho hình vẽ: 
n
a) Hai đường thẳng Mz và Ny có
song song với nhau hay không? 
Vì sao?
b) Hai đường thẳng Ny và Ox có
song song với nhau hay không? Vì sao?
b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
*) Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
(1) Chứng minh đó là hai đường phân giác của hai góc kề bù.
(2) Chứng minh hai đường này cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc bằng 900
(3) Chứng minh đường thẳng thứ nhất vuông góc với một đường thẳng khác mà song song với đường thẳng thứ hai.
(4) Sử dụng tính chất ba đường cao trong tam giác.
(5) Chứng minh đường thẳng thứ nhất là đường trung trực của một đoạn thẳng nằm trên đường thẳng kia.
(6) Sử dụng tính chất đường cao của tam giác cân.
(7) Chứng tỏ chúng là hai đường thẳng chứa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, thường kết hợp với việc tính tổng hai góc hoặc sử dụng định lý Pytago.
*) Các bài tập minh họa:
Bài tập 1: Cho hai đường thẳng song song xx’ và yy’. Vẽ đường thẳng a cắt xx’ tại A, cắt yy’ tại B. Tia phân giác của các góc xAB và ABy cắt nhau tại C; tia phân giác của các góc BAx’ và ABy’ cắt nhau tại D. Chứng minh rằng:
a) CA DA; CB DB
b) AC CB; AD BD
Bài giải:
GT
 xx’ // yy’
KL
a) CA DA; CB DB
b) AC CB; AD BD
a) AC là tia phân giác của góc xAB (gt)
AD là tia phân giác của góc BAx’ (gt)
Mà hai góc xAB và BAx’ kề bù.
CA DA
Chứng minh tương tự có: CB DB
b) Vì xx’ // yy’ => (kề bù)
=> 
=> CAB vuông tại C => AC CB
Chứng minh tương tự có DAB vuông tại D => AD BD
Bài tập 2: Cho góc xOy, lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Gọi K là giao điểm của AB và tia phân giác góc xOy. Chứng minh rằng:OK ^ AB
Bài giải:
GT
góc xOy
A Ox, B Oy; OA = OB
KL
OK ^ AB
Vì OA = OB (gt) => AOB cân tại O
Mà OK là đường phân giác xuất phát từ đỉnh O (gt)
=> OK đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh O (t/c tam giác cân)
=> OK ^ AB
Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D. Chứng minh: AD ^ BE.
Bài giải:
GT
ABC nhọn, AC > AB
AE = AB
KL
AD ^ BE.
Xét ABD và AED có:
AB = AE (gt)
(gt)
AD là cạnh chung.
=> ABD = AED (c-g-c)
=> DB = DE (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = AE (gt)
=> AD là đường trung trực của đoạn thẳng BE (tính chất trung trực)
Do đó: AD ^ BE.
* Bài tập đề nghị:
Cho tam giác ABC vuông tại C. Kẻ đường cao CH. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh: MN ^ AC
2.2.3. Chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy 
a) Chứng minh các điểm thẳng hàng
* Các cách thường dùng để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
(1)	Chứng minh AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB hoặc BA + AC = BC)
(2)	Chứng minh 
(3)	Sử dụng tiên đề Euclide, chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC cùng song song với một đường thẳng khác.
(4)	Sử dụng tính chất của các đường trong tam giác (trung tuyến, phân giác, đường cao, trung trực). Chứng minh rằng A, B, C cùng thuộc một trong các đường ấy.
*Bài tập minh hoạ:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Bài giải:
GT
ABC
D thuộc tia đối AB: AD = AB
E thuộc tia đối AC: AE = AC
CM = EN
KL
M, A, N thẳng hàng.
Xét ΔABC và ΔADE có:
AB = AD (gt)
 (đối đỉnh)
AC = AE (gt)
=> ΔABC = ΔADE (c-g-c)
=> (hai góc tương ứng)
Xét ΔAEN và ΔACM có:
AC = AE (gt)
 (cmt)
CM = EN (gt)
=> ΔAEN = ΔACM (c-g-c)
=> (hai góc tư)
Mà (kề bù) => 
Hay => Ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho D ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB, trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh rằng: ba điểm M, A, N thẳng hàng. 
Bài giải:
GT
DABC
DA = DC; EA = EB
M thuộc tia đối DB: DM = DB
N thuộc tia đối EC: EN = EC
KL
M, A, N thẳng hàng. 
Xét ADM và CDB có:
DA = DC (gt)
 (đối đỉnh)
DM = DB (gt)
=>ADM = CDB (c-g-c)
 (hai góc tương ứng)
AM // BC (hai góc so le trong bằng nhau)(1)
Chứng minh tươn tự có AEN = BEC (c-g-c)
 (hai góc tương ứng)
AN // BC (hai góc so le trong bằng nhau) (2)
Từ (1) và (2) suy ra qua điểm A có hai đường thẳng cùng song song với BC (trái với tiên đề Ơclit)
Do đó: AN trùng với AN hay ba điểm M, A, N thẳng hàng.
*Bài tập đề nghị:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là giao điểm của BE và CD, M là trung điểm của BC. Chứng minh: ba điểm A, M, I thẳng hàng.
b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
* Các phương pháp thường dùng để chứng minh ba đường thẳng đồng quy:
(1)	Chứng minh đưòng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường kia.
(2)	Sử dụng tính chất của các đường thẳng đồn