Báo cáo biện pháp Phương pháp giải phương trình tích và một số bài toán liên quan

 dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan trọng. Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán 8 tôi đã dày công tìm tòi; nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải phương trình tích đa dạng và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung; tách hạng tử; phương pháp them bớt hạng tử; phương pháp đặt ẩn phụ để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích. 
Khi học chuyên đề này học sinh rất thích thú vì có các ví dụ đa dạng, có nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng tích từ đó giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán khó.
 2. Mục tiêu nghiên cứu
Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy. Tôi đã tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “ giải phương trình tích “ và những dạng bài tập vận dụng đặc biệt là hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học bộ môn toán và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính logic - chỉ ra các phương pháp dạy học các loại bài tập “ Giải các dạng phương trình đưa về dạng phương trình tích “ .
Đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Cụ thể là : 
 - Tìm hiểu thực trạng học sinh 
Những phương pháp đã thực hiện 
Những chuyển biến sau khi áp dụng 
Rút ra bài học kinh nghiệm 
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
Sách giáo khoa đại số lớp 8; sách giáo viên; sách tham khảo nâng cao; sách bài tập toán 8 tập hai 
Học sinh lớp 8 trường THCS
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu giải phương trình tích và các bài tập vận dụng trong chương trình học kỳ II môn đại số lớp 8. 
5. Phương pháp nghiên cứu 
Phương pháp đọc sách và tài liệu 
Phương pháp nghiên cứu sản phẩm 
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 
Phương pháp thực nghiệm 
Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề 
.
II. NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong hoạt động giáo dục hiện nay đồi hỏi học sinh cần phải tự học; tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo; tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội 
Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn toán 
( cụ thể là môn đại số lớp 8 ) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được như vậy thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập; tự nghiên cứu , đào sâu kiến thức của các em học sinh.
PHẦN 2: THỰC TRẠNG 
2.1: a/ Thuận lợi : 
- Cơ sở vật chất của nhà trường đầy đủ 
- Tài liệu tham khảo đa dạng; đội ngũ giáo viên có năng lực vững vàng, nhiệt tình.
- Đa số các em ham học; thích nghiên cứu. 
 b/ Khó khăn : 
Lực học của các em không đồng đều . Một số em học sinh tiếp thu còn chậm, không đáp ứng được yêu cầu của chương trình. 
Điều kiện kinh tế của gia đình học sinh còn nghèo nên có sự ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng học tập của học sinh. 
2.2: a/Thành công 
- Đa số các em đã nhận thức đúng đắn về ý thức học tập cần phải hăng say học tập.
- Học sinh đã nắm được kiến thức một cách có hệ thống; các em đã nắm được các dạng bài tập và phương pháp giải các bài tập đó. 
- Đã gợi được sự say mê học tập của các em học sinh. 
 b/ Hạn chế : 
Thời lượng thực hiện giảng dạy còn hạn chế. Một số em học sinh tiếp thu còn chậm.
- Thời gian thực tế trên lớp ít nên việc lồng ghép các dạng toán có liên quan còn khó khăn do đó có những bài toán mới học sinh còn bỡ ngỡ chưa biết cách giải.
2.3 : a/ Mặt mạnh : 
- Ban giám hiệu nhà trường chỉ đạo thường xuyên coi việc phát triển năng lực chuyên môn là then chốt; nhà trường đã phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh công tác chuyên môn. Tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để các thầy cô giáo có điều kiện học hỏi đúc rút được nhiều kinh nghiệm cho bản than. 
- Đa số giáo viên nhiệt tình trong công tác giảng dạy; học sinh ham học. 
- Cơ sở vật chất đầy đủ; đồ dung học tập phong phú. 
 b/ Mặt yếu : Chất lượng học sinh không đồng đều nên việc tiếp thu kiến thức còn hạn chế. 
2.4 : Các nguyên nhân; các yếu tố tác động 
- Xuất phát từ thực trạng nói trên nguyên nhân chủ yếu là nhằm giúp cho các em học sinh có ý thức học tập đúng đắn; tạo sự ham mê học tập giúp các em có điều kiện lĩnh hội được một số kiến thức để các em học tập sau này được tốt hơn. 
- Xuát phát từ sự ham học hỏi của học sinh và sự ham mê nghiên cứu và lòng yêu nghề của bản than. 
- Sự chỉ đạo sát sao của các cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy. 
PHẦN 3: BIỆN PHÁP
3.1: Mục tiêu của giải pháp , biện pháp 
- Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng “ Phương trình tích”. Đồng thời vận dụng các phương pháp đó để giải các bài toán hay và khó hơn. 
- Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử rồi phân tích đa thức đưa về dạng tích 
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích là gì và những dạng bài tập nào thì vận dụng được nó và vận dụng như thế nào 
Phân tích vế trái thành một tích ( thừa số ) là biến đổi vế trái thành một tích của các đa thức; đơn thức khác của ẩn và vế phải bằng 0. 
3.2: Nội dung và phương pháp thực hiện 
G/V ? : Một tích bằng 0 khi ? 
 Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng ? 
Cần cho học sinh thấy rõ là : Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số phải có một thừa số bằng 0.
Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích đó bằng 0. 
Ví dụ : Giải phương trình : ( 2x – 3 ) ( x + 1 ) = 0 ( I ) 
Phương pháp giải:
Tính chất nêu trên của phép nhân có thể viết 
 ab = 0 a = 0 hoặc b = 0 ( với a ; b là các số ) 
Đối với phương trình ta cũng có : ( 2x – 3 ) ( x + 1 ) = 0 
 2x – 3 = 0 
 Hoặc x + 1 = 0 
Do đó để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình 
 1/ 2x – 3 = 0 
 2/ x + 1 = 0 x = - 1 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 1,5 và x = - 1 
Và ta viết tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 
Giải phương trình như trên được gọi là giải phương trình tích 
Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát như sau 
GV?: Để giải phương trình tích : A(x) . A(x ) . .A(x ) = 0( II )
 thì ta cần giải những phương trình nào ? 
HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải các phương trình sau:
 A( x ) = 0 ( 1 ) 
 A( x ) = 0 ( 2 ) 
 ..
 A ( x ) = 0 ( n )
Nghiệm của các phương trình ( 1 ) ; ( 2 ) .( n ) là nghiệm của phương trình ( II )
Với các giá trị của x thỏa mãn điều của phương trình ( II )
SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG
I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN 
VÍ DỤ 1: Giải phương trình 
 ( x + 1 ) ( x + 4 ) = ( 2 – x ) ( 2 + x )
Nhận xét : Hai tích không có nhân tử chung thi ta phải khai triển và thu gọn để tìm cách đưa về dạng tích, do đó để giải phương trình này ta cần thực hiện hai bước: 
Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái và đổi dấu các hạng tử đó; vế phải bằng 0; rồi áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích 
 Ta có : ( x + 1 ) ( x + 4 ) = ( 2 – x ) ( 2 + x ) 
 ( x + 1 ) ( x + 4 ) – ( 2 – x ) ( 2 + x ) = 0 
 x
Bước 2 : Giải phương trình tích vừa tìm được rồi kết luận nghiệm 
 x ( 2x + 5 ) = 0 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 2: Giải phương trình : 
Tương tự ví dụ 1 ta thực hiện phép chuyển vế ta có : 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 
 Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào hằng đẳng thức 
 Giải : 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 
VÍ DỤ 4:
 Giải phương trình : 
Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra được
 hằng đẳng thức bình phương của một tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc 
nhân đa thức rồi mới phân tích thành nhân tử 
Ta xem ( x- 1 ) =A ; ( x + 2 ) = B phương trình có dạng ( A + B )= 0 
Giải : ta có 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 5 : Giải phương trình : 
 Đây là một phương trình tích có chứa căn thức bậc hai. Để tránh cho học sinh có thể hiểu bài toán môt cách phức tạp vì phương trình có chứa căn bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh vẫn thực hiện cách giải thông thường vì cũng được coi là các hệ số thông thường 
Giải: 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 
II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
VÍ DỤ 1 : Giải phương trình : 
Đối với phương trình này thì học sinh có thể có các cách giải khác nhau chẳng hạn ở đây ta có thể tham khảo hai cách giải sau: 
 Cách 1 : Ta có : 
 ( tách 3x = x + 2x ) 
 ( nhóm hạng tử )
 ( đặt nhân tử chung ) 
 ( đặt nhân tử chung )
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
CÁCH 2: Giải: 
 ( tách ) 
 ( đặt nhân tử chung )
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 2: 
Giai phương trình : đối với phương trình này đầu tiên chưa xuất hiện nhân tử chung; cũng không ở dạng hằng đẳng thức nào cả 
Do vậy khi giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào đã biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) 
ở đây ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x 
 Giải : Ta có : 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 
 Đối với phương trình này ta tách hạng tử 5x = 6x – x 
 Giải : Ta có : 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : 
VÍ DỤ 4 : Giải phương trình : 
Đối với phương trình này bước đầu tiên ta phải biến đổi vế trái thành tích bằng cách đặt nhân tử chung để biểu thức trong ngoặc đơn giản hơn sau đó dung phương pháp tách hạng tử để đưa về dạng tích. 
Giải : Ta có : 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 5: Giải phương trình : 
Đối với phương trình này vế trái chưa xuất hiện nhân tử chung. Do đó ta cần biến đổi để đưa vế trái về dạng tích bằng cách tách hạng tử 9x = 4x + 5x 
Giải: Ta có : 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 6: Giải phương trình : 
Ta biến đổi vế trái của phương trình thành tích bằng cách tách hạng tử.
Tử x = 3x – 2x sau đó nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung 
 Giải : Ta có : 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 7: Giải phương trình : 
 Đối với phương trình này có nhiều cách giải khác nhau. Sau đây là một số cách giải:
Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x 
 Ta có : 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
Cách 2 : Tách hạng tử 2 = - 4 + 6 
 Ta có : 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
Cách 3 : Biến đổi ; 
 Ta có : 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
III/DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
VÍ DỤ 1: Giải phương trình 
 Đây là phương trình bậc 4 ẩn x . để giải dạng phương trình này ta cần đặt biến phụ sau khi tìm được giá tri của biến phụ ta lắp giá trị đó vào biểu thức lien quan ban đầu để tìm nghiệm. Ở đây ta đặt ta có cách giải sau: 
Giải :Ta có : 
 Vì ta đặt 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 2: Giải phương trình : 
Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ là : Đặt nên ta có cách giải sau :
 Giải :Ta có : 
 ( tách 5a = 4a + a )
 ( nhóm và đặt NTC )
 Vì đặt 
 Điều này không thể xẩy ra vì với mọi giá trị của x vậy phương trình 
 đã cho vô nghiệm : tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : ta biến đổi vế trái bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng tích 
 Giải : Ta có : 
Vì đặt Trường hợp này cũng không thể xẩy ra 
Vì với mọi giá trị của x . Vậy phương trình vô nghiệm 
 Tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 4: Giải phương trình : 
 Đặt Ta có cách giải sau 
 Vì đặt 
 Và : (Loại) 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 5 : Giải phương trình : 
 Đặt nên ta có cách giải sau: 
Vì đặt 
 Và : 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
IV: DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của phương trình.
Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác không . Sau đây là một số ví dụ về dạng phương trình này
 VÍ DỤ 1: Gi ải phương trình : ( I ) 
 Điều kiện xác định của phương trình là : 
 Giải : Ta có 
 ( I ) 
 Vì điều kiện xác định của phương trình là : và 
 Nên với x = 0 loại . Do đó nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 2: Giải phương trình : ( II ) 
ĐKXĐ: 
 Giải : Ta có :
(II) 
 Quy đồng mẫu hai vế 
 (Nhân hai vế với khử mẫu )
 Khai triển chuyển vế thu gọn ta được 
 ( tách -9x = - 4x – 5x )
 Vì x = 4 ; x = 5 Thuộc tập xác định của phương trình 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : ( III) ĐKXĐ : 
 Giải : Ta có : 
 (III) 
 ( nhân hai vế với x – 2 và khử mẫu )
 (Loại vì x = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình 
 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 4 : Giải phương trình : ( IV ) ĐKXĐ : 
 ( IV ) 
 Vì 
 nên 
 Thỏa mãn điều kiện của bài toán 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
V- MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC 
Tùy theo mỗi dạng phương trình mà ta có thể có những cách biến đổi khác nhau để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Sau đây là một dạng phương trình đặc trưng.
Ví dụ I: Giải phương trình : 
Đây là một phương trình nếu áp dụng cách giải thông thường thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó để giải được phương trình này ta sử dụng phương pháp sau:
Để biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích đơn giản hơn 
Ta cộng thêm 2 vào hai vế của phương trình và biến đổi phương trình như sau 
 Vì : 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 2 : Giải phương trình : 
 Cộng thêm (3) vào hai vế của phương trình ta được 
 Vì : 
Vậy nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 3: Giải phương trình : 
Đối với phương trình này ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái và tách thành 5 hạng tử . mỗi hạng tử là 1 đơn vị nên ta có cách giải sau 
 Vì : 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 4 : Giải phương trình : 
Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm 3 vào hai vế của phương trình và tách thành từng nhóm như sau:
 Vì : 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
VÍ DỤ 5: Giải phương trình :
 Đối với phương trình này giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đi 3 đơn vị và tách ra từng phần và ta có cách giải sau 
 Giải: 
 Vì : 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 
3.3: Điều kiện thực hiện giải pháp; biện pháp 
- Được sự góp ý bổ sung ; và sự sắp xếp thời gian của tổ chuyên môn tổ chức ngoại khóa.
- Thực hiện trong quá trình giảng dạy thông qua các tiết học trên lớp ; các tiết giải bài tập 
- Biện pháp tổ chức thực hiện tập trung hoặc phân theo từng nhóm đối tượng học sinh 
3.4 : Mối quan hệ giữa các giải pháp biện pháp 
Với các phương pháp biến đổi như giải phương trình tích đơn giản; phương pháp tách hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ; phương pháp quy đồng mẫu và khử mẫu; phương pháp cộng vào hai vế; nhóm rồi quy đồng đưa các hạng tử có tử giống nhau để đặt nhân tử chung đều có mục đích chung là đưa các phương trình đó về dạng phương trình tích.
3.5 : Kết quả khảo nghiệm giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu 
Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc dạy học môn toán giải phương trình được ứng dụng một số phương pháp biến đổi khác nhau trong quá trình giải để đưa về dạng phương trình tích . qua việc thực hiện kết quả đạt được là học sinh đã tiếp thu bài tốt hơn rất nhiều so với khi chưa thực hiện phương pháp này. 
3.6 : Kết quả thu được qua khảo nghiệm ; giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu 
 Kết quả trước và sau khi thực hiện kinh nghiệm dạy về phương trình tích được khảo sát như sau như sau: 
Khi chưa thực hiện dạy về phương pháp giải phương trình tích 
Khảo sát 20 em kết quả đạt được như sau:
Lớp 
GIỎI
KHÁ 
TB
YẾU 
KÉM 
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
8A2
0
0%
1
5%
10
50%
7
35%
2
10%
8A3
0
0%
2
10%
9
45%
8
40%
1
5%
Kết quả sau khi đã thực hiện giảng dạy các phương pháp giải phương trình tích là:
LỚP 
Giỏi
KHÁ 
TB
YẾU 
KÉM 
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
SL
TL
8A2
4
20%
5
25%
9
45%
2
10%
0
0%
8A3
5
25%
4
20%
8
40%
3
15%
0
0%
III. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
3.1: Kết luận 
Việc áp dụng các phương pháp biến đổi phương trình để đưa về dạng phương trình tích rất có hiệu quả. Làm cho học sinh thay đổi được tính tư duy; sự nhận thức nhanh hơn; nhìn nhận một vấn đề sâu rộng hơn; chắc chắn hơn. học sinh đã biết phân tích biến đổi nhìn nhận bài toán bằng nhiều khía cạnh khác nhau. Kết quả khảo sát cao hơn nhiều so với khi chưa áp dụng phương pháp này. 
Trong quá trình thực hiện bản thân tôi không thể tránh khỏi những khiếm khuyết thiếu sót. Tính lôgic của hệ thống các phương trình nên bản thân tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu từ quý thầy cô giáo nói chung và quý thầy cô giáo bộ môn toán nói riêng .Nhất là các đồng chí trong tổ chuyên môn để bản thân tôi đúc rút được nhiều kinh nghiệm hơn trong quá trình dạy học nói chung và trong việc dạy học bộ môn toán nói riêng trong đó có việc dạy học giải phương trình tích bản thân tôi. 
Xin chân thành cảm ơn!
3.2 : Kiến nghị : 
- Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian hơn nữa để các em được tham dự các chuyên đề rút ra từ những kinh nghiệm như trên 
- Nhà trường cần tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất về kinh phí để thực hiện các chuyên đề có tính chất liên quan 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT
TÊN SÁCH
TÁC GIẢ
NHÀ XUẤT BẢN
1
2
3
4
5
6
7 
Sách giáo khoa đại số 8 tập II
Sách hướng dẫn giáo viên đại số tập II
Sách bài tập đại số 8 tập II 
Ôn tập đại số 8 
Các bài toán hay đại số 8 
Các bài toán chọn lọc 
(Bồi dưỡng học sinh khá ; giỏi )
405 Bài tập đại số 8 
Phan Đức Chính 
Tôn Thân 
Nguyễn Huy Đoan 
Lê văn Hồng 
Vũ Hữu Bình 
Lê Đình Phi 
Nguyễn Ngọc Đạm 
Nguyễn Quang Hanh 
Ngô long hậu 
Nguyễn đức Tấn 
Phan Hoàng Ngân 
Nguyễn Anh Hoàng 
Nguyễn Đức Hòa 
Nhà xuất bản giáo dục 
Nhà xuất bản giáo dục 
Nhà xuất bản giáo dục 
Nhà xuất bản giáo dục 
Đại học quốc gia hà nội 
Nhà xuất bản đại học sư phạm hà nội 
Nhà xuất bản đại học quốc gia Thành phố
 Hồ Chí Minh 
MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trang
 1.Lý do chọn đề tài........................................................................................1
 2. Mục tiêu nghiên cứu..................................................................................2
 3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu...........................................................2
 4. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................2
 5. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................2
II. NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI
 PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................3
PHẦN 2: THỰC TRẠNG ...........................................................................4
PHẦN 3: BIỆN PHÁP 
3.1: Mục tiêu của giải pháp , biện pháp .......................................................5
3.2: Nội dung và phương pháp thực hiện .......................................................9
3.3 : Điều kiện thực hiện giải pháp ; biện pháp.............................................23
3.4 : Mối quan hệ giữa các giải pháp biện pháp..........................................23 
3.5 : Kết quả khảo nghiệm giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu..........................................................................................................23 
3.6: Kết quả thu được qua khảo nghiệm ; giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu..................................................