Báo cáo biện pháp Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học sinh học tập tốt bộ môn. 
2.Cơ sở thực tiễn 
Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét, nhận dạng phương trình và biến đổi trong thực hành giải toán yếu kém, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chây lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý thức học tập, trông nhờ vào kết quả người khác.
 Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập khác, các em thường lúng túng, không tìm được hướng giải thích hợp. 
Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ năng giải toán cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin. 
Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Giữ mối liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập của con em hầu như không có.
Chương II. Các biện pháp
 1. Những giải pháp mới của đề tài
@ Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:
- Sắp xếp các dạng phương trình bất phương trình theo các mức độ. 
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình và bất phương trình.
- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình và bất phương trình.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
a) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản 
 + Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0. 
 + Phương pháp giải phương trình tích.
 + Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
 +Bất phương trình dạng: (hoặc , , )
b) Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương trình và phương trình
+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao)
+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình và bất phương trình thường gặp
 2. Các phương trình thường gặp
 a. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình
j Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).
? Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:
Phương pháp chung: 
- Thực hiện bỏ dấu ngoặc.
- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.
„ Chú ý: Nếu a 0, phương trình có nghiệm x = 
Nếu a = 0, c 0, phương trình vô nghiệm
Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) 
 5 – x + 6 = 12 – 8x 
 – x + 8x = 12 – 11 
 7x = 1 
 x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
 x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)
 x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)
 –2x = 7 (sai từ trên)
 x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)
Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là: 
Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2) x – 1 – 2x + 1 = 9 – x 
 x – 2x + x = 9 
 0x = 7 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình.
? Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:
Phương pháp chung: 
- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1. 
- Thực hiện cách giải như dạng 1. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: (3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: 
 (sai ở hạng tử thứ ba)
 (sai từ trên)
 (sai từ trên)
 (sai từ trên)
Sai lầm của học ở đây là: 
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.
Lời giải đúng: 
 Vậy: S = 
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
„ Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 1: (3) 
 x = 4 
Vậy: S = 
Cách 2: Đặt t = x -1
 (3) 
 x = 4 Vậy: S = 
Ví dụ 4: Giải phương trình: (4) (BT-18b)-SGK-tr14)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4) 
 4x = 2
 x = 0,5
Vậy: S = 
« Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 2: Chuyển phương trình về phân số
(4) 
Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân
(4) 
k Phương trình tích 
Phương pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x)  = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x)  = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0
„ Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x)  = 0. Ta thường biến đổi như sau:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích. 
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5) = 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0
 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0 
 3x = 2 hoặc 4x = – 5
 x = hoặc x = 
Vậy S = 
„ Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
 (3x – 2)(4x + 5) = 0 ó
* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: 
(6) x2 – x + 2x – 2 = 0 x2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý.
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Cách 1: (6) x2 – x + 2x – 2 = 0
 x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
 (x – 1)(x + 2) = 0
	Vậy S = 
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế
Cách 2: (6) x(x – 1) = – 2(x – 1) 
 x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
 (x – 1)(x + 2) = 0
	Vậy S = 
Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-tr7)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.
 (7) –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0
 –5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý.
Giải: (7) (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2 
 (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0
 (x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0
Vậy S = 
Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:
Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình và đặt ngay nhân tử chung ấy.
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.
Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.
ƒ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 8: Giải phương trình (8) (BT 52b)-Sgk-tr33)
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:
Lời giải sai: ĐKXĐ: x 2 ; x 0
(8) 
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu là không chính xác)
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0
 x(x + 1) = 0
Vậy S = (kết luận dư nghiệm)
Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “”không chính xác
 Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x 2 ; x 0
(8) 
 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (8’)
 x2 + 2x – x + 2 = 2 
 x2 + x = 0
 x(x + 1) = 0
Vậy S = 
Giáo viên cần củng cố cho học sinh:
Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta dùng ký hiệu “” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (8’) chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (8). 
Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận.
Ví dụ 9: Giải phương trình (9) (BT 30a)-Sgk-tr23)
- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ.
- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm.
Giải: ĐKXĐ: x 2 
(9) 
 1 + 3(x – 2) = 3 – x 
 1 + 3x – 6 = 3 – x 
 4x = 8
 x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình vô nghiệm 
Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình:
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0)
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu thức bằng 0)
 - Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước.
- Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3; hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có dạng này ta không cần phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0.
Ví dụ 10: Giải phương trình (10) 
Lời giải: ĐKXĐ: x 1 ; x2 + x + 1 > 0
 (10) 
 3x2 + x – 4 = 4x – 4 
 3x2 – 3x = 0
 3x(x – 1) = 0
 Vậy S = 
b. Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trình
Ví dụ 11: Giải phương trình (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.
Lần 1: Mẫu chung là 15
Lần 2: Mẫu chung là 10
Hướng dẫn: (11) 
 (học sinh giải tiếp)
Ví dụ 12: Giải phương trình (12) 
- Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau:
Cách 1: (12) 
 56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336
 37x = –370
 x = –10
Vậy S = 
- Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp phải bài toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. Do đó giáo viên cần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể rút ra cách giải tổng quát cho các bài tập có dạng tương tự.
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:
x + 1 + 9 = x +10 
 Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều
 cùng bằng một phân thức
x + 2 + 8 = x + 10 
x + 3 + 7 = x + 10
x + 4 + 6 = x + 10
Khi đó ta có cách giải như sau:
? Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử:
Cách 2: (12) 
 x + 10 = 0
 x = –10 Vậy S = 
- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
-Khai thác bài toán:
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:
1) 
* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:
2) 
3) 
Hướng dẫn: 2) 
3) 
? Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:
Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = 8 (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8 
Hướng dẫn: (13) (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) = 0 
 (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
 (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) = 0
 (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) = 0
 (x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp)
- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về “Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác” để đưa về dạng tích mà các em đã học.
Bài tốn tổng quát: 
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac 
Trong thực hành ta làm như sau: 
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
« Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 
Ví dụ 14 Giải phương trình (BT.31.b/23) 
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 1; x 2; x 3
(14) 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh khác thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán phức tạp sau:
1) Ta có: (14) 
* Ta có bài toán tương tự như sau:
2) 
3) (*)
Hướng dẫn: ; ; 
(*)
? Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 15: Giải phương trình (15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phương trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x 0
(15) Đặt 
Phương trình trở thành y2 – 3y + 2 = 0 (y – 1)(y – 2) =0 y = 1 hoặc y = 2
Khi đó x2 – x + 1 = 0 (vô nghiệm) 
 x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 x = 1 (nhận)
Vậy S = 
3. Các dạng bất phương trình thường gặp
Định nghĩa : Bất phương trình dạng: 
(hoặc , , ) trong đó a và b là hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. 
Hoạt động 1
Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất một ẩn: 
a) 2x - 3 0; c) 5x - 15 ≥ 0;          d) x2 > 0. 
  ĐA: Bất phương trình d)
Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
Quy tắc chuyển vế
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc chuyển vế) để biến đổi tương đương bất phương trình: 
Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
VÍ DỤ 1
Giải các bất phương trình sau: 
a) x - 5 2x + 5 (có biểu diễn tập nghiệm trên trục số). 
Lời giải
a) Ta có: 
x - 5 < 18 x < 18 + 5    (Chuyển vế -5 và đổi dấu thành 5) 
x < 23. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 
b) Ta có: 
3x > 2x + 53x - 2x > 5(Chuyển vế 2x và đổi dấu thành -2x) 
x > 5. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 
Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau: 
Hoạt động 2
Giải các bất phương trình sau: 
a) x + 12 > 21;          b) -2x > -3x - 5. 
Quy tắc nhân với một số
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc nhân) để biến đổi tương đương bất phương trình: 
  Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải: 
Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương; 
Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
VÍ DỤ Giải các bất phương trình sau: a) 0,5x < 3;      b) (có biểu diễn tập nghiệm trên trục số). 
Lời giải a) Ta có: 
0,5x < 3 0,5x.2 < 3.2    (Nhân cả hai vế với 2) 
x < 6. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= . 
b) Ta có: 
  (Nhân cả hai vế với -4 và đổi chiều) 
x > -12. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . 
Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau: 
Hoạt động 3
Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân): 
a) 2x < 24;          b) -3x < 27. 
Hoạt động 4
Giải thích sự tương đương: 
a) x + 3 6. 
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
VÍ DỤ 3 Giải bất phương trình 2x - 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. 
Lời giải
Ta có: 
2x - 3 < 0 
2x < 3    (Chuyển -3 sang vế phải và đổi dấu) 
2x:2 < 3:2    (Chia hai vế cho 2) 
x < 1,5. 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là và được
biểu diễn trên trục số như sau: 
Hoạt động 5
Giải bất phương trình -4x - 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. 
Hướng dẫn: Làm tương tự ví dụ 3, nhưng lưu ý khi nhân hai vế với số âm. 
CHÚ Ý: Để cho gọn khi trình bày, ta có thể: 
Không ghi câu giải thích; 
Khi có kết quả x < 1,5 (ở ví dụ 3) thì coi là giải xong và viết đơn giản: 
"Nghiệm của bất phương trình 2x - 3 < 0 là x < 1,5". 
VÍ DỤ 4
Giải bất phương trình -4x + 12 < 0. 
Lời giải
Ta có: 
-4x + 12 < 0 
12 < 4x 
12:4 < 4x : 4 
3 < x. 
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3. 
Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn
VÍ DỤ 5
Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7. 
Lời giải
Ta có: 
3x + 5 < 5x - 7 
3x - 5x < -5 - 7 
-2x < 12 
-2x : (-2) > -12 : (-2) 
x > 6. 
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 6. 
Hoạt động 6
Giải bất phương trình -0,2x - 0,2 > 0,4x - 2. 
Ta có -0,2x-0.4x > 0.2 – 2 ó -0.6x > -1,8
ó x x < 3
BÀI TẬP
8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất phương trình có cùng tập nghiệm). 
a) 
b) 
9. Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không: 
a) 
b) 
Tập nghiệm của bất phương trình
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình. 
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. 
VÍ DỤ 1. Tập nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp các số lớn hơn 3, tức là tập hợp 
Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau: 
(Trong hình vẽ trên, tất cả các điểm bên trái điểm 3 và cả điểm 3 bị gạch bỏ). 
Hoạt động 2
Hãy cho biết vế trái, vế phải và tập nghiệm của bất phương trình x > 3, bất phương trình 3 < x và phương trình x = 3. 
VÍ DỤ 2. Bất phương trình x ≤ 7 có tập nghiệm là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng 7, tức là tập hợp . Tập hợp này được biểu diễn trên trục số như sau: 
(Trong hình vẽ trên, các điểm bên phải điểm 7 bị gạch bỏ nhưng điểm 7 được giữ lại). 
Hoạt động 3
Viết và biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên các trục số khác nhau: 
a) x ≥ -2. Hướng dẫn: Trên trục số, gạch bỏ các điểm bên trái điểm -2 bằng các dấu "/" và giữ lại điểm -2 bằng dấu "[". 
b) x < 4. Hướng dẫn: Trên trục số, gạch bỏ các điểm bên phải điểm 4 bằng các dấu "/" và gạch bỏ điểm 4 bằng dấu ")". 
Bất phương trình tương đương
Bất phương trình x > 3 và bất phương trình 3 < x có cùng tập nghiệm là . 
Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu "" để chỉ sự tương đương đó. 
VÍ DỤ 3. . 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau đây: 
a) 2x + 3 < 9; 
b) -4x > 2x + 5; 
c) 5 - x > 3x - 12. 
2. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau: 
a) x < 4; 
b) x ≤ -2; 
c) x > -3; 
d) x ≥ 1. 
3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ cần nêu một bất phương trình). 
a) 
b) 
c) 
d) 
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khúc mắc trong quá trình giải phương trình và bất phương trình. Vì thời gian có hạn nên không đi sâu vào một số phương trình và bất phương trình khác như phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,vv
á Kết quả 
Kết quả áp dụng kỹ năng giải phương trình này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà. 
Kết quả kiểm tra về giải phương trình được thống kê, đánh giá qua 1 lớp 8, ở HKI năm học 2017 – 2018 như sau: 
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kết quả khảo sát 
Thời gian học kỳ I
TS
HS
Trung bình trở lên 
Số lượng
Tỉ lệ (%)
Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp)
37
15
40,54%
- Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích, nhận dạng phương trình, kỹ năng thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót về dấu, chưa áp dụng được các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, ...
b) Áp dụng giải pháp