Báo cáo biện pháp Các dạng phương trình thường gặp ở THCS

trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ :	-9 - 7x = 5 ( x +3) -7x 	-9 = 5 x ( x + 3)
* Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức của ẩn thì được phương trình mới có thể không tương đương với phương trình đã cho.
 b) Định lý 2:Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
 Ví dụ : x2 - 3x = 2x2 - 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 )
III/ NHỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
1.Phương trình bậc nhất một ẩn :
Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a ¹0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do.
Cách giải : 
- Phương trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1)
- Dùng phép bién đổi tương đương , Phương trình (1) trở thành : 
 a x=-b óx=-b/a
Phương trình này có nghiệm duy nhất : x= (a0)
2. Phương trình bậc cao:
2.1. Phương trình bậc hai một ẩn :
Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng 
ax2 + bx + c = 0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a ¹ 0.
*Cách giải:
*Ta dùng các phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất ,phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình 
*Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai
 a x2 +b x +c=o (a0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phương trình: =b2- 4ac,	 Vì biểu thức = b2- 4ac quyết định nghiệm số của phương trình bậc hai .Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :
a , <0 ó phương trình bậc hai vô nghiệm 
b , =0 ó phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau): x=x=
c , >0 ó phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
 x= ; x= 
 	 *Chú ý : 
- Nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.cb2-4ac >0 hay >0 )
- Đối với một số phương trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trong trường hợp có nghiệm (0 ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm nghiệm 
Định lí Viét : Nếu phương trình bậc hai a x 2 + bx +c = 0 (1) ( a) có hai nghiệm là : x thì tổng và tích hai nghiệm là 
 S =x= P=x= 
 Cách nhẩm nghiệm :
 + Nếu a+b+c =0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x 
 + Nếu a-b+c=0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x 
Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình có dạng đặc biệt . Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm được một số bài toán biện luận về số nghiệm của phương trình bậc hai 
Ví dụ : Giải các phương trình sau 
 a , 3x2+5x +7 = 0 = 25 – 4. 3 . 7 =25 - 84 =- 61 <0
 Vậy phương trình vô nghiệm 
 b , 5 x2 +2x +2 = 0 = (2 )2 -4.5.2 =0 
nên phương trình có nghiệm kép x=x= =
 c , 3x2+5x - 1 = 0 
 = 52 - 4 . 3 .(-1) =25+12 =37 >0
 Vậy PT có hai nghiệm là : x= ; x= 
 d/ Giải phương trình = (1) 
 -Phân tích các mẫu thành nhân tử phương trình trở thành 
 = TXĐ : x +3 0 hay x3và x -3 
 x-3 0
 MTC : (x-3)(x+3) 
 -Khử mẫu ta được phương trình x 2 -3x +6 =x+3
 - Chuyển vế : ó x 2 -3x +6-x-3=0óx2 -4x +3 =0(2) a+b+c= 1+(-4) +3 =0 
 Nên x1=1 ; x2= =3 là hai nghiệm của phương trình trung gian 
 Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có thuộc TXĐ của (1) hay không ?
 ở đây ta nhận thấy x1=1 thoả mãn điều kiện 
 x 2=3 không thoả mãn điều kiện 
 -Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1
*Nhận xét : 
-Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp nhiều
-Khi giải các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau : 
 + Tìm TXĐ của phương trình 
 + Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm 
( loại bỏ những nghiệm của phương trình trung gian không nằm trong miền xác định )
* Bài luyện tập:Giải các phương trình :
 	a ,3(x2+x) -2(x2+x ) -1= 0 , b, 5x2 - 7x = 0
 c. 	d,
 e, 
2.2. Phương trình bậc ba 
 a x3 +bx2 +cx =d =0
 ( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a 0 )
* Cách giải : 
-Để giải một phương trình bậc ba ta thường biến đổi về phương trình tích .Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 . Muốn làm tốt việc này cần đồi hỏi HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo 
 *Ví dụ : giải phương trình 2x3 +7x2 +7x + 2=0 
 Giải Phân tích vế trái thành nhân tử ta có
 VT = (2x3 + 2) + (7x2 +7 )= 2(x3 +1) + 7x (x+1)
= 2(x+1)(x2 –x +1) +7x(x+1)= (x+1)[2(x2-x +1) +7x ]
 	= (x+1) (2x2+5x +2)
 Vậy phương trình đã cho ó (x+1) (2x2+5x +2) =0
 ó x +1 =0 (2) ó x1 =-1
 (2x2+5x +2) =0 (3) x 2=-2 ; x3 = -
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x1 =-1 ; x 2=-2 ; x3 = -
 *Nhận xét : 
Khi giải một phương trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích
- Chú ý : tính chất của phương trình bậc ba : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 )
 +Nếu a+b+c +d =0 thì phương trình có một nghiệm x=1
 +Nếu a-b+c-d =0 thì phương trình có một nghiệm x= -1
Khi đã nhận biết được một nghiệmcủa phương trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử 
- Phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên . Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (đ/l sự tồn tại nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên )
- Nếu phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) có 3 nghiệm x1 ; x2 ; x3 
 Thì 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau:
 x1+x2+x3 = -; x1x2+ x2x3 +x1x3 =; x1x2x3 = -
* Bài luyện tập:Giải các phương trình :
a, 2x3 - 5x2 - 3x = 0; c, x3 - 5x2 + x + 5 = 0
b, x3 - 7x + 6 = 0; d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0
f, 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = 0
2.3. Phương trình bậc 4 : 
Phương trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 
 Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 )
Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai
2.3.1. Phương trình tam thức bậc 4 (Phương trình trùng phương )
 Phương trình trùng phương có dạng tổng quát : a x4 +bx 2 +c=0 (1) 
 Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a 0 ) 
 	*Cách giải :
 Khi giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến 
 x 2 =t (t 0) (2)
Khi đó phương trình (1) dưa được về dạng phương trình bậc hai trung gian 
 a t2 +b t +c =0 (3)
Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được ( với t 0) vào (2) ta được phương trình bậc ha với biến x giải phương trình này ta tìm được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu 
 *Ví dụ : Giải phương trình sau: 4x 4 - 109x2+ 225 =0 (1)
 Giải 
Đặt x 2 =t (t 0) phương trình (1) trở thành 4t2 – 109t +225=0(2) 
Giải phương trình (2) được nghiệm là t1 = ; t2 =25 
 Cả hai nghiệm của phương trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0 
 + Với t1 = ta có x 2= => x1=3/2 ; x2= -3/2 
 + Với t2=25 ta có x2= 25 => x3 =5 ; x4=-5 
 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là : x1=3/2 ; x2= -3/2 ; x3 =5 ; x4=-5 
* Nhận xét : 
 - Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy :
 - Phương trình vô nghiệm khi :
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm .
+Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm .
- Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi : 
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương .
+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dương .
- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0. 
- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian có hai nghiệm dương phân biệt .
* Bài luyện tập:Giải các phương trình :
	a, 4x4 + x2 - 5 = 0 c, 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2
	b, 3x4 + 4x2 + 1 = 0 d, 9x4 - 10x2 + 1 = 0
2.3. 2. Phương trình hệ số đối xứng bậc 4
a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 
 (Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 )
 	 - Đặc điểm : ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau 
* Ví dụ : Giải phương trình sau 
 10 x4-27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) 
 Ta nhận thấy x=0 không phảI là nghiệm của (1)
 	 Do đó chia cả hai vế (10 cho x2 ta được 10x2 -27x – 110 - = 0 
Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được 10( x2 +) -110 =0(2) Đặt ẩn phụ (x+ =t (3) => x2+ =t2 -2 thay vào (2) ta có: 10t2 -27t -130=0 (4)
Giải (4) ta được t1=- ; t 2= 
+ Với t1=- ó(x+ =- ó 2x2 +5x+2=0 có nghiệm là x1=-2 ; x2=-1/2
+Với ; t 2= ó (x+ = ó 5x2-26x+5 =0 có nghiệm là x3=5 ; x4=1/5
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm là S=
* Nhận xét : 
- Về phương pháp giải gồm 4 bước 
 	+Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x2rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình (2) 
 	+Đặt ẩn phụ : (x+ =t (3) => x2+ =t2 -2 thay vào (2) 
 	+Giải phương trình đó ta được t .
 	+Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
- Về nghiệm số của phương trình: x0 là nghiệm của (1) thì cũng là nghiệm của nó 
 (ví dụ trên : -2 là nghiệm và -1/2 là ngịch đảo của nó cũng là nghiệm ;5 và 1/5là nghịch đảo của nhau)
* Bài luyện tập: Giải các phương trình :
 a, x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 = 0; b. x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1 = 0
 c, x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0	 d, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0
 e, x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + 4 = 0	 
 2.3 .3.Phương trình hồi quy :
Phương trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1) Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 và ; ( c0) 
Đối với phương trình hệ số đối xứng bậc 4chỉ là một trường hợp đặc biệt của phương trình hồi quy 
*Chú ý:Khi =1 hay a=c thì d = b; lúc đó (1) có dạng 
 a x4 + bx 3+ cx2 bx +e =0 
*Cách giải: 
-Do x=0 không phảilà nghiệm của phương trình (1) nên chia cả hai vế cho x2 ta được a x2 +bx +c + = 0 (2)
- Nhóm hợp lí a (x2 + 
- Đổi biến đặt x+ =t => x2 +( do (d/b)2 =c/a
 nên x2+ c/ a x2=t2 -2. d/b
 Khi đó ta có phương trình a(t2 - 2) bt +c =0
- Ta được phươnmg trình (3) trung gian như sau : at2+ bt +c=0 (3) 
- Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu 
 * Ví dụ Giải phương trình :
 x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) 
 Nhận xét 4/1=(; Nên phương trình (1) là phương trình hồi quy 
x=0 không phải là nghiệm của (1) 
Do đó chia cả hai vế phương trình cho x2 ta được 
 x2- -4x -9 + =0 ó (x2 + - 4( x -) -9 =0 (2) 
 * Đặt ( x -) =t (3) => .( x2 + =t2 +4 thay vào (2) 
 Phương trình (1) trở thành : t2-4t -5 =0 có nghiệm là t1=-1 ; t2=5
 +Với t1=-1 ó x2+x-2=0 có nghiệm là x1= 1; x2= -2 
 + Với t2=5 ó x2 -5x -2 =0 có nghiệm là x3,4 =
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S=
 *Nhận xét : 
 - Cũng tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bước đặt ẩn phụ Đặt x+ =y b => x2 + 
 2.3 .4 .Phương trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (a+d=b+c) 
 *Cách giải :
 nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó 
Khi đó phương trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 
do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) 
 ta có phương trình At2 +Bt+ C =0 (Với A=1)
 Giải phương trình ta tìm được t thay vào (2) rồi giải tìm được nghiệm x 
* Ví dụ :
 Giải phương trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1) 
nhận xét 1+7 =3+5 
Nhóm hợp lý ó (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0 
 ó (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) 
 *Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta được 
 ó t( t+ 8) + 15=0
 óy2 +8y +15 =0 có nghiệm y1=-3 ; y2=-5 
 Thay vào (3) ta được hai phương trình 
 1/ x2 +8x +7 = -3 ó x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = -4
 2/ x2 +8x +7 = -5 ó x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6 
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S =
 * Nhận xét :
 -Đối với những phương trình có dạng đặc biệt như trên ,nếu ta khai triển vế trái ta sẽ được phương trình bậc 4 ( thường là loại bậc 4 đầy đủ ) .Đối với HS ở THCS việc giải là rất khó khăn . Vì vậy từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số của phương trình bằng nhau rồi nhóm một cách hợp lí . Khi khai triển mỗi nhóm ,ta đổi biến của phương trình và đưa về phương trình bậc hai trung gian 
- Ta thấy nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phương trình ban đầu cũng vô nghiệm . Nếu phương trình trung gian có nghiệm thì ta trả biến lại và giải tiếp phương trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của phương trình này là nghiệm của phương trình ban đầu 
* Bài luyện tập:
1.Giải các phương trình :
a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8 ; c, (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810
b, (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680; d, (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 0
 2.Cho phương trình: (x+3)(x+5)(x+9)(x+7) = m
	 a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
	 b, Giải và biện luận nghiệm của phương trình
	 c, Giải phương trình khi m = 5.
 2.3.5. Phương trình dạng: (x+a)4 +(x+b)4 = c (1)
 (Trong đó xlà ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) 
 *Cách giải :
Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
 Đặt t =x+ Ta có x+a =t+ ; x+b=t - 
 Khi đó phương trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( )2 t2 + 2( )4 –c =0
 Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải
 *Ví dụ Giải phương trình sau : 
 (x+3)2 +(x-1)4 =626 
 Đặt t = x+1 
 Ta có phương trình ó (t+2)4 + (t – 2)4 =626 
 ó 9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626
 ót4 +24t2 - 297 =0 có nghiệm là t=-3 và t=3 
 Từ đó tìm được x=2 và x=-4 là nghiệm của phương trình đã cho 
* Bài luyện tập: Giải các phương trình :
a, (x + 5)4 + (x +3)4 = 2 b, (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82
c, (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2
2.3.6.Phương trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 
 (trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) là đa thức một biến )
*Cách giải:
- Tìm TXĐ của phương trình 
- đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phương trình có dạng 
 at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc hai đã biết cách giải 
 +/nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phương trình f(x) =t 
 +/ nghiệm của phương trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phương 
 trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phương trnhf (1) 
* Ví dụ : Giải phương trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TXĐ : xR 
 Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3
Vậy ta có phương trình tương đương : (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 =0 
 Đặt x2+ 3x =t (2) 
 Ta có PT : t2 -4t +3 = 0 có nghiệm là t1=1 ;t2=3
 Với t1=1 ó x2+ 3x = 1ó x2 +3x -1=0 có nghiệm là x1 , 2 =
 Với t2=3ó x2+ 3x = 3 ó x2+ 3x – 3 =0 có nghiệm x3, 4 =
 các nghiệm này đều thoả mãn TXĐ 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 , 2 = ; x3, 4 = 
 *Nhận xét : 
 -Nhờ phép biến đổi f(x) =t ta đưa phương trình a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 về dạng phương trình bậc hai đã biết cách giải 
 - Tuy nhiên có một số phương trình phải qua một số phép biến đổi mới xuất hiện dạng tổng quát ( ví dụ trên ) . Cũng như một số loại phương phương trình khác mà tôi đã giới thiệu ở trên . số nghiệm của phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm của phương trình bậc hai trung gian 
*Chú ý : 
 - Tất cả các phương trình đã đề xuất ở trên thực chất chúng đều có dạng tổng quát a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (1) (sau khi đã biến đổi )
- Phương trình trùng phương kể cả phương trình bbậc hai đều là dạng đặc biệt của 
 phương trình a x2n+ bx n +c = 0 Gọi là phương trình tam thức 
 (trong đó x là ẩn ;a 0 ; n 1)
dạng đặc biệt của phương trình (1) trên Với f(x)=xn 
* Bài luyện tập: Giải các phương trình :
 a, x4 + 4 = 5x(x2 - 2); c, x4+6x3+5x2-12x+3=0; b, x4 + 9 = 5x(x2 - 3)	
*Ngoài ra các phươg trình bậc cao có dạng đặc biệt nêu trên mà khi giải đều đưa được về dạng một phương trình bậc hai trung gian 
*Sau đây ta nghiên cứu một số phương trình bậc cao khác: 
2.4. Phương trình tam thức 
 Phương trình tam thức dạng : a x2n + bxn +c=0 (1) 
 (a, b, c là các số thực ;n nguyên dương ;n ; a 0 )
* Nếu a, b, c đồng thời khác không và n=2 thì phương trình (1) là phương trình trùng phương đã nghiên cứu ở trên 
* Xét trường hợp n>2 	-Ta đặt xn =t 
 - Để tìm nghiệm của (1) ta giải hệ sau : xn =t
 a t2 + bt +c =0 
* Ví dụ : Giải phương trình x6- 9x3+8=0 (1)
 Cách 1: Đặt x3 = t ta có phương trình 
 t2 -9t +8= 0 có nghiệm t1 =1 ; t2 =8 -Với t1 =1 x3 =1 x=1
 -Với t2 =8 x3= 8 x=2 
 Cách 2 : Đưa về phương trình tích 
ó (x6 – x3) –( 8x3-8) =0ó ( x3 -1) (x3 -8) =0 
 (x3 -1) =0 hoặc (x3 -8) =0 x=1 hoặc x=2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1 ; x=2 
*Bài luyện tập: giải các phương trình:
	a, 8x6 - 5x3 + 8 = 0	b, 10x4 - 6x2 - 121 = 0
2.5. Phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
 phương trình đối xứng bậc lẻ (bậc 5) có dạng : 
 a x5 +bx4 + cx3 +cx2 +bx+a =0
 * Ví dụ : Giải phương trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0 
 Phương tình này có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phương trình về dạng ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 
 Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phương trình 
 2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) là phương trình đối xứng (bậc 4) 
 Giải (2) ta được x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1 
 *Nhận xét : Phương trình đối xứng bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x=-1 do đó băng cách chia cả hai vế phương trình cho x+1 ta hạ được bậc của phương trình thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n 
 -Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối với x được đưa về phương trình bậc n đối với t bằng cách đặt t =x+
- Nếu a là nghiệm của phương trình đối xứng thì 1/a cũng là nghiệm của phương trình chính vì thế phương trình đối xứng dù chãn hay lẻ bậc còn được gọi là phương trình thuận nghịch bậc chẵn hay bậc lẻ)
* Bài luyện tập:Giải phương trình: 2x5 + 5x4 - 13x3 - 13x2 + 5x + 2 = 0
 2.6. Phương pháp giải các phương trình bậc cao đưa được về dạng tích 
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1)
 Phương trình (1) không thuộc các phương trình đã xét ở trên 
 Do đó đẻ giải phương trình này ta đưa về dạng tích bằng cách phântích vế trái thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai 
 x2( x-1)+ 5x(x-1) -24(x-1 ) =0 (x-1 )( x2+5x-24 )=0
 x-1 =0 hoặc x2 +5x-24=0 
 *x-1=0 x 1=1 
* x2+5x-24=0 có hai nghiệm là x1= 3 ; x2=-8 
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là x1= 1 ; ; x2=-8 ; x3=3 
 Ví dụ 2: Giải phương trình 
 x4+ 4x3+3x2+2x-1=0 (2) (x2+2x)2 –(x-1)2 =0
 (x2+x+1 )( x2+3x-1 )=0 x2+x+1 =0 hoặc x2+3x-1 =0 
 * x2+x+1 =0 vô nghiệm (Vì = -3 <0 ) 
 * x2+3x-1 =0 có nghiệm là x1, 2 =
 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1, 2 = 
* Nhận xét :
	- Đối với các phương trình bậc cao không thuộc dạng đã nêu trên . Thì cách giải thích hợp nhất đối HS ở THCS là tìm cách đưa phương trình về dạng tích đối vế trái và vế phải bằng 0 . Như vậy các phương trình thường được đưa về tập các phương trình bậc nhất hoặc bậc hai 
	- Số nghiệm của các phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm của các phương trình con tương đương 
* Bài luyện tập:Giải phương trình:
a, 4x3 - 12x2 + 7x + 1 = 0; b, x8 + 8 = 0; c, (2x2 + x-4)2 - (2x-1)2 = 0 
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN
 Từ các bước đi cụ thể và sự nghiêm khắc của mình năm học 2011-2012 công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 tại trường THCS Chi Nê - Huyện Lạc Thủy do tôi phụ trách đã thu được kết quả đáng khích lệ , vượt chỉ tiêu về số lượng học sinh giỏi. Các em giờ đây khi gặp những dạng bài toán về phương trình bậc cao không còn bỡ ngỡ, lúng túng, tiếp cận được đường lối, biết suy luận và lập luận có căn cứ, biết trình bày lời giải lô gic, chặt chẽ.
* Cụ thể qua quá trình ôn học sinh giỏi đã thu được kết quả cụ thể như sau:
 -Khả năng tiếp thu, tư duy, lo gíc tính toán của học sinh được tăng lên rõ rệt.
 - Học sinh có hứng thú học tập cao hơn đối với môn toán .
	- Kỹ năng giải bài tập tiến bộ rõ rệ, mức độ nắm và khai thác kiến thức 
trong bài tốt hơn.
	- Sự tiếp thu kiến thức mới nhanh hơn .
	- Rèn tính cẩn thận, tỉ mỉ, khoa học chính xác.
* Khảo sát chất lượng khi chưa áp dụng sáng kiến đối với học sinh lớp 9:
Khối
Sĩ Số
Điểm
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9
24
0
3
12,5
8
33,3
10
41,7
3
12,5
Kết quả khảo sát chất lượng khi áp dụng sáng kiến:
Khối
Sĩ Số
Điểm
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9
24
3
12,5
9
37,5
10
41,7
2
8,3
0
* Đặc biệt khi đưa ra tổ, khối được đồng nghiệp công nhận sáng kiến trên được áp dụng cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Chi Nê.
PHẦN THỨ BA
KẾT LUẬN 
	Sáng kiến nêu trên nó có vai trò rất quan trọng không thể thiếu trong